Risolvi (x-1)^2+(x+2)^2-(x-3)(x+3)=22

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ^ { 2 } - ( x - 3 ) ( x + 3 ) = 22$$

Trova x

$$x=-4$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina -2x e 4x per ottenere 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considera \left(x-3\right)\left(x+3\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 al quadrato.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-9, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

E 5 e 9 per ottenere 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Sottrai 22 da entrambi i lati.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Sottrai 22 da 14 per ottenere -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+2x-8 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=-8$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-2 b=4$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina -2x e 4x per ottenere 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considera \left(x-3\right)\left(x+3\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 al quadrato.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-9, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

E 5 e 9 per ottenere 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Sottrai 22 da entrambi i lati.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Sottrai 22 da 14 per ottenere -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=1\left(-8\right)=-8$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -8.

$$-1,8 -2,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+8=7 -2+4=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-2 b=4$$

Riscrivi x^{2}+2x-8 come \left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(4x-8\right)$$

Fattori in x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-2\right)+4\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e x+4=0.

$$x=2 x=-4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina -2x e 4x per ottenere 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considera \left(x-3\right)\left(x+3\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 al quadrato.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-9, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

E 5 e 9 per ottenere 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Sottrai 22 da entrambi i lati.

$$x^{2}+2x+14-22=0$$

Sottrai 22 da 14 per ottenere -8.

$$x^{2}+2x-8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 2 a b e -8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-8\right)}}{2}$$

Eleva 2 al quadrato.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-8\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+32}}{2}$$

Aggiungi 4 a 32.

$$x=\frac{-2±\sqrt{36}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 36.

$$x=\frac{-2±6}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±6}{2} quando ± è più. Aggiungi -2 a 6.

$$x=\frac{4}{2}$$

Dividi 4 per 2.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-2±6}{2} quando ± è meno. Sottrai 6 da -2.

$$x=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x=-4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=-4$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(x+2\right)^{2}-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+x^{2}+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-2x+1+4x+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Combina -2x e 4x per ottenere 2x.

$$2x^{2}+2x+1+4-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x-3\right)\left(x+3\right)=22$$

Considera \left(x-3\right)\left(x+3\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 3 al quadrato.

$$2x^{2}+2x+5-\left(x^{2}-9\right)=22$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-9, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x^{2}+2x+5-x^{2}+9=22$$

Combina 2x^{2} e -x^{2} per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+2x+5+9=22$$

E 5 e 9 per ottenere 14.

$$x^{2}+2x+14=22$$

Sottrai 14 da entrambi i lati.

$$x^{2}+2x=22-14$$

Sottrai 14 da 22 per ottenere 8.

$$x^{2}+2x=8$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=8+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x^{2}+2x+1=8+1$$

Aggiungi 8 a 1.

$$x^{2}+2x+1=9$$

Fattore x^{2}+2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=9$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Semplifica.

$$x+1=3 x+1=-3$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-4$$