Risolvi (x-1)^2+(2x+2)^2=16

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

Trova x

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combina x^{2} e 4x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combina -2x e 8x per ottenere 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Sottrai 16 da 5 per ottenere -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-11. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -55.

$$-1,55 -5,11$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=-5 b=11$$

Riscrivi 5x^{2}+6x-11 come \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 11 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 5x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combina x^{2} e 4x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combina -2x e 8x per ottenere 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

Sottrai 16 da 5 per ottenere -11.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 6 a b e -11 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -11.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

Aggiungi 36 a 220.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±16}{10} quando ± è più. Aggiungi -6 a 16.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividi 10 per 10.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±16}{10} quando ± è meno. Sottrai 16 da -6.

$$x=-\frac{22}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-22}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{11}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

Combina x^{2} e 4x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

Combina -2x e 8x per ottenere 6x.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

E 1 e 4 per ottenere 5.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

Sottrai 5 da 16 per ottenere 11.

$$5x^{2}+6x=11$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

Dividi \frac{6}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Aggiungi \frac{11}{5} a \frac{9}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Sottrai \frac{3}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$