Risolvi (x+3)^2<2

$$( x + 3 ) ^ { 2 } < 2$$

Risolvi per x

$$x\in \left(-\sqrt{2}-3,\sqrt{2}-3\right)$$

Procedura della soluzione

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$\left(x+3\right)^{2}=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, 6 con b e 7 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{-6±2\sqrt{2}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\sqrt{2}-3 x=-\sqrt{2}-3$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}-3\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{2}-3\right)\right)<0$$

Affinché il prodotto sia negativo, x-\left(\sqrt{2}-3\right) e x-\left(-\sqrt{2}-3\right) devono avere segni opposti. Considera il caso in cui x-\left(\sqrt{2}-3\right) è positiva e x-\left(-\sqrt{2}-3\right) è negativa.

$$x-\left(\sqrt{2}-3\right)>0 x-\left(-\sqrt{2}-3\right)<0$$

Falso per qualsiasi x.

$$x\in \emptyset$$

Considera il caso in cui x-\left(-\sqrt{2}-3\right) è positiva e x-\left(\sqrt{2}-3\right) è negativa.

$$x-\left(-\sqrt{2}-3\right)>0 x-\left(\sqrt{2}-3\right)<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x\in \left(-\left(\sqrt{2}+3\right),\sqrt{2}-3\right).

$$x\in \left(-\left(\sqrt{2}+3\right),\sqrt{2}-3\right)$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x\in \left(-\sqrt{2}-3,\sqrt{2}-3\right)$$