Risolvi (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Trova x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3,428571429$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Considera \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 8 al quadrato.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Espandi \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calcola 3 alla potenza di 2 e ottieni 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combina x^{2} e 9x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sottrai 64 da 9 per ottenere -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

E -55 e 1 per ottenere -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combina 10x^{2} e -3x^{2} per ottenere 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Sottrai 9x da entrambi i lati.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combina 6x e -9x per ottenere -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Sottrai 18 da entrambi i lati.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Sottrai 18 da -54 per ottenere -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 7x^{2}+ax+bx-72. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-24 b=21$$

Riscrivi 7x^{2}-3x-72 come \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Fattori in x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Fattorizza il termine comune 7x-24 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 7x-24=0 e x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Considera \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 8 al quadrato.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Espandi \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calcola 3 alla potenza di 2 e ottieni 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combina x^{2} e 9x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sottrai 64 da 9 per ottenere -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

E -55 e 1 per ottenere -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combina 10x^{2} e -3x^{2} per ottenere 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Sottrai 9x da entrambi i lati.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combina 6x e -9x per ottenere -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Sottrai 18 da entrambi i lati.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Sottrai 18 da -54 per ottenere -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 7 a a, -3 a b e -72 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -4 per 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Moltiplica -28 per -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Aggiungi 9 a 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Calcola la radice quadrata di 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Moltiplica 2 per 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±45}{14} quando ± è più. Aggiungi 3 a 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Riduci la frazione \frac{48}{14} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±45}{14} quando ± è meno. Sottrai 45 da 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Dividi -42 per 14.

$$x=-3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Considera \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 8 al quadrato.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Espandi \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Calcola 3 alla potenza di 2 e ottieni 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Combina x^{2} e 9x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Sottrai 64 da 9 per ottenere -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

E -55 e 1 per ottenere -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Sottrai 3x^{2} da entrambi i lati.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Combina 10x^{2} e -3x^{2} per ottenere 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Sottrai 9x da entrambi i lati.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Combina 6x e -9x per ottenere -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Aggiungi 54 a entrambi i lati.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

E 18 e 54 per ottenere 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

La divisione per 7 annulla la moltiplicazione per 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Dividi -\frac{3}{7}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{14}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{14} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{14} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Aggiungi \frac{72}{7} a \frac{9}{196} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Fattore x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Aggiungi \frac{3}{14} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$