Risolvi (x+1)^2-5x(x+1)=0

$$( x + 1 ) ^ { 2 } - 5 x ( x + 1 ) = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x per x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Combina x^{2} e -5x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Combina 2x e -5x per ottenere -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -4x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-4=-3 2-2=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=1 b=-4$$

Riscrivi -4x^{2}-3x+1 come \left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right).

$$\left(-4x^{2}+x\right)+\left(-4x+1\right)$$

Fattori in -x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$-x\left(4x-1\right)-\left(4x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune 4x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 4x-1=0 e -x-1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x per x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Combina x^{2} e -5x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Combina 2x e -5x per ottenere -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -4 a a, -3 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica -4 per -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

Aggiungi 9 a 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

Moltiplica 2 per -4.

$$x=\frac{3±5}{-8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±5}{-8} quando ± è più. Aggiungi 3 a 5.

$$x=\frac{8}{-8}$$

Dividi 8 per -8.

$$x=-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±5}{-8} quando ± è meno. Sottrai 5 da 3.

$$x=-\frac{2}{-8}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{-8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1 x=\frac{1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+1\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+1-5x\left(x+1\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x per x+1.

$$x^{2}+2x+1-5x^{2}-5x=0$$

Combina x^{2} e -5x^{2} per ottenere -4x^{2}.

$$-4x^{2}+2x+1-5x=0$$

Combina 2x e -5x per ottenere -3x.

$$-4x^{2}-3x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-4x^{2}-3x=-1$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$\frac{-4x^{2}-3x}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

La divisione per -4 annulla la moltiplicazione per -4.

$$x^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)x=-\frac{1}{-4}$$

Dividi -3 per -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{1}{-4}$$

Dividi -1 per -4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Dividi \frac{3}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a \frac{9}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Fattore x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Sottrai \frac{3}{8} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{1}{4} x=-1$$