Risolvi (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Trova v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Sottrai 2v^{2} da entrambi i lati.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combina v^{2} e -2v^{2} per ottenere -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Sottrai 2v da entrambi i lati.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combina 8v e -2v per ottenere 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Sottrai 9 da 16 per ottenere 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -v^{2}+av+bv+7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=7 b=-1$$

Riscrivi -v^{2}+6v+7 come \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Fattori in -v nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Fattorizza il termine comune v-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere v-7=0 e -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Sottrai 2v^{2} da entrambi i lati.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combina v^{2} e -2v^{2} per ottenere -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Sottrai 2v da entrambi i lati.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combina 8v e -2v per ottenere 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Sottrai 9 da 16 per ottenere 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 6 a b e 7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 36 a 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione v=\frac{-6±8}{-2} quando ± è più. Aggiungi -6 a 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Dividi 2 per -2.

$$v=-1$$

Ora risolvi l'equazione v=\frac{-6±8}{-2} quando ± è meno. Sottrai 8 da -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Dividi -14 per -2.

$$v=7$$

L'equazione è stata risolta.

$$v=-1 v=7$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Sottrai 2v^{2} da entrambi i lati.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Combina v^{2} e -2v^{2} per ottenere -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Sottrai 2v da entrambi i lati.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Combina 8v e -2v per ottenere 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Sottrai 16 da 9 per ottenere -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Dividi 6 per -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Dividi -7 per -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Aggiungi 7 a 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Fattore v^{2}-6v+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Semplifica.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$v=7 v=-1$$