Risolvi (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Risolvi per x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

E 81 e 162 per ottenere 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Combina -90x e -180x per ottenere -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Combina 25x^{2} e 50x^{2} per ottenere 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Sottrai 24 da 243 per ottenere 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 75 con a, -270 con b e 219 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Affinché il prodotto sia negativo, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} e x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} devono avere segni opposti. Considera il caso in cui x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} è positiva e x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} è negativa.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Falso per qualsiasi x.

$$x\in \emptyset$$

Considera il caso in cui x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} è positiva e x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} è negativa.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$