Risolvi (6x-5)(3x+2)-(9x+6)(3x+9)=0

$$( 6 x - 5 ) ( 3 x + 2 ) - ( 9 x + 6 ) ( 3 x + 9 ) = 0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = -\frac{32}{3} = -10\frac{2}{3} \approx -10,666666667$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-5 per 3x+2 e combinare i termini simili.

$$18x^{2}-3x-10-\left(9x+6\right)\left(3x+9\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 9x+6 per 3x+9 e combinare i termini simili.

$$18x^{2}-3x-10-\left(27x^{2}+99x+54\right)=0$$

Per trovare l'opposto di 27x^{2}+99x+54, trova l'opposto di ogni termine.

$$18x^{2}-3x-10-27x^{2}-99x-54=0$$

Combina 18x^{2} e -27x^{2} per ottenere -9x^{2}.

$$-9x^{2}-3x-10-99x-54=0$$

Combina -3x e -99x per ottenere -102x.

$$-9x^{2}-102x-10-54=0$$

Sottrai 54 da -10 per ottenere -64.

$$-9x^{2}-102x-64=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -9x^{2}+ax+bx-64. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-102 ab=-9\left(-64\right)=576$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 576.

$$-1,-576 -2,-288 -3,-192 -4,-144 -6,-96 -8,-72 -9,-64 -12,-48 -16,-36 -18,-32 -24,-24$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-576=-577 -2-288=-290 -3-192=-195 -4-144=-148 -6-96=-102 -8-72=-80 -9-64=-73 -12-48=-60 -16-36=-52 -18-32=-50 -24-24=-48$$

La soluzione è la coppia che restituisce -102 come somma.

$$a=-6 b=-96$$

Riscrivi -9x^{2}-102x-64 come \left(-9x^{2}-6x\right)+\left(-96x-64\right).

$$\left(-9x^{2}-6x\right)+\left(-96x-64\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 32 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-3x-2\right)+32\left(-3x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune -3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-3x-2\right)\left(3x+32\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -3x-2=0 e 3x+32=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-\frac{32}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-5 per 3x+2 e combinare i termini simili.

$$18x^{2}-3x-10-\left(9x+6\right)\left(3x+9\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 9x+6 per 3x+9 e combinare i termini simili.

$$18x^{2}-3x-10-\left(27x^{2}+99x+54\right)=0$$

Per trovare l'opposto di 27x^{2}+99x+54, trova l'opposto di ogni termine.

$$18x^{2}-3x-10-27x^{2}-99x-54=0$$

Combina 18x^{2} e -27x^{2} per ottenere -9x^{2}.

$$-9x^{2}-3x-10-99x-54=0$$

Combina -3x e -99x per ottenere -102x.

$$-9x^{2}-102x-10-54=0$$

Sottrai 54 da -10 per ottenere -64.

$$-9x^{2}-102x-64=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -9 a a, -102 a b e -64 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{\left(-102\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-64\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Eleva -102 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-4\left(-9\right)\left(-64\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica -4 per -9.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404+36\left(-64\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 36 per -64.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{10404-2304}}{2\left(-9\right)}$$

Aggiungi 10404 a -2304.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±\sqrt{8100}}{2\left(-9\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 8100.

$$x=\frac{-\left(-102\right)±90}{2\left(-9\right)}$$

L'opposto di -102 è 102.

$$x=\frac{102±90}{2\left(-9\right)}$$

Moltiplica 2 per -9.

$$x=\frac{102±90}{-18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{102±90}{-18} quando ± è più. Aggiungi 102 a 90.

$$x=\frac{192}{-18}$$

Riduci la frazione \frac{192}{-18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{32}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{102±90}{-18} quando ± è meno. Sottrai 90 da 102.

$$x=\frac{12}{-18}$$

Riduci la frazione \frac{12}{-18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{2}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{32}{3} x=-\frac{2}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6x-5 per 3x+2 e combinare i termini simili.

$$18x^{2}-3x-10-\left(9x+6\right)\left(3x+9\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 9x+6 per 3x+9 e combinare i termini simili.

$$18x^{2}-3x-10-\left(27x^{2}+99x+54\right)=0$$

Per trovare l'opposto di 27x^{2}+99x+54, trova l'opposto di ogni termine.

$$18x^{2}-3x-10-27x^{2}-99x-54=0$$

Combina 18x^{2} e -27x^{2} per ottenere -9x^{2}.

$$-9x^{2}-3x-10-99x-54=0$$

Combina -3x e -99x per ottenere -102x.

$$-9x^{2}-102x-10-54=0$$

Sottrai 54 da -10 per ottenere -64.

$$-9x^{2}-102x-64=0$$

Aggiungi 64 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$-9x^{2}-102x=64$$

Dividi entrambi i lati per -9.

$$\frac{-9x^{2}-102x}{-9}=\frac{64}{-9}$$

La divisione per -9 annulla la moltiplicazione per -9.

$$x^{2}+\left(-\frac{102}{-9}\right)x=\frac{64}{-9}$$

Riduci la frazione \frac{-102}{-9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{34}{3}x=\frac{64}{-9}$$

Dividi 64 per -9.

$$x^{2}+\frac{34}{3}x=-\frac{64}{9}$$

Dividi \frac{34}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{17}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{17}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{34}{3}x+\left(\frac{17}{3}\right)^{2}=-\frac{64}{9}+\left(\frac{17}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{34}{3}x+\frac{289}{9}=\frac{-64+289}{9}$$

Aggiungi -\frac{64}{9} a \frac{289}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{34}{3}x+\frac{289}{9}=25$$

Fattore x^{2}+\frac{34}{3}x+\frac{289}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{3}\right)^{2}=25$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{3}\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

Semplifica.

$$x+\frac{17}{3}=5 x+\frac{17}{3}=-5$$

Sottrai \frac{17}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{2}{3} x=-\frac{32}{3}$$