Risolvi (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considera \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 al quadrato.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Espandi \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Per trovare l'opposto di 4x^{2}-1, trova l'opposto di ogni termine.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} e -4x^{2} per ottenere 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

E 4 e 1 per ottenere 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Sottrai 47 da entrambi i lati.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Sottrai 47 da 5 per ottenere -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combina -20x e -x per ottenere -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Dividi entrambi i lati per 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-2 b=1$$

Riscrivi x^{2}-x-2 come \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Scomponi x in x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considera \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 al quadrato.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Espandi \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Per trovare l'opposto di 4x^{2}-1, trova l'opposto di ogni termine.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} e -4x^{2} per ottenere 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

E 4 e 1 per ottenere 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Sottrai 47 da entrambi i lati.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Sottrai 47 da 5 per ottenere -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Combina -20x e -x per ottenere -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 21 a a, -21 a b e -42 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Eleva -21 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Moltiplica -4 per 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Moltiplica -84 per -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Aggiungi 441 a 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Calcola la radice quadrata di 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

L'opposto di -21 è 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Moltiplica 2 per 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{21±63}{42} quando ± è più. Aggiungi 21 a 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Dividi 84 per 42.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{21±63}{42} quando ± è meno. Sottrai 63 da 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Dividi -42 per 42.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Considera \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 al quadrato.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Espandi \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Per trovare l'opposto di 4x^{2}-1, trova l'opposto di ogni termine.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Combina 25x^{2} e -4x^{2} per ottenere 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

E 4 e 1 per ottenere 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Combina -20x e -x per ottenere -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Sottrai 5 da entrambi i lati.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Sottrai 5 da 47 per ottenere 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Dividi entrambi i lati per 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

La divisione per 21 annulla la moltiplicazione per 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Dividi -21 per 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Dividi 42 per 21.

$$x^{2}-x=2$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 2 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=-1$$