Risolvi (5x-1)^2=16

$$( 5 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Sottrai 16 da 1 per ottenere -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$5x^{2}-2x-3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx-3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-2 ab=5\left(-3\right)=-15$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -15.

$$1,-15 3,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-15=-14 3-5=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -2 come somma.

$$a=-5 b=3$$

Riscrivi 5x^{2}-2x-3 come \left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(3x-3\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Fattorizza il termine comune x-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(5x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-1=0 e 5x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$25x^{2}-10x+1-16=0$$

Sottrai 16 da 1 per ottenere -15.

$$25x^{2}-10x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, -10 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 25\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-100\left(-15\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per -15.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+1500}}{2\times 25}$$

Aggiungi 100 a 1500.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 1600.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±40}{2\times 25}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±40}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$x=\frac{10±40}{50}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±40}{50} quando ± è più. Aggiungi 10 a 40.

$$x=\frac{50}{50}$$

Dividi 50 per 50.

$$x=1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±40}{50} quando ± è meno. Sottrai 40 da 10.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5x-1\right)^{2}.

$$25x^{2}-10x+1=16$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$25x^{2}-10x=16-1$$

Sottrai 1 da 16 per ottenere 15.

$$25x^{2}-10x=15$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25x^{2}-10x}{25}=\frac{15}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{25}\right)x=\frac{15}{25}$$

Riduci la frazione \frac{-10}{25} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{15}{25}$$

Riduci la frazione \frac{15}{25} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}$$

Dividi -\frac{2}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{3}{5}+\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{3}{5}+\frac{1}{25}$$

Aggiungi \frac{3}{5} a \frac{1}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}=\frac{16}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{2}{5}x+\frac{1}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{1}{5}=-\frac{4}{5}$$

Aggiungi \frac{1}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=1 x=-\frac{3}{5}$$