Risolvi (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Trova x

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Sottrai 16 da 49 per ottenere 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 25x^{2}+ax+bx+33. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

La soluzione è la coppia che restituisce 70 come somma.

$$a=15 b=55$$

Riscrivi 25x^{2}+70x+33 come \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 11 nel secondo gruppo.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x+3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x+3=0 e 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Sottrai 16 da 49 per ottenere 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, 70 a b e 33 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Eleva 70 al quadrato.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Aggiungi 4900 a -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-70±40}{50} quando ± è più. Aggiungi -70 a 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-70±40}{50} quando ± è meno. Sottrai 40 da -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-110}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Sottrai 49 da entrambi i lati.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Sottrai 49 da 16 per ottenere -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Riduci la frazione \frac{70}{25} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Dividi \frac{14}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Aggiungi -\frac{33}{25} a \frac{49}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Sottrai \frac{7}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$