Risolvi (5n=n^2-n-1)

$$( 5 n = n ^ { 2 } - n - 1 )$$

Trova n

$$n=\sqrt{10}+3\approx 6,16227766$$

$$n=3-\sqrt{10}\approx -0,16227766$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Sottrai n^{2} da entrambi i lati.

$$5n-n^{2}=-n-1$$

Aggiungi n a entrambi i lati.

$$5n-n^{2}+n=-1$$

Combina 5n e n per ottenere 6n.

$$6n-n^{2}=-1$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati.

$$6n-n^{2}+1=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-n^{2}+6n+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 6 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$n=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$n=\frac{-6±\sqrt{36+4}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 36 a 4.

$$n=\frac{-6±\sqrt{40}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 40.

$$n=\frac{-6±2\sqrt{10}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$n=\frac{-6±2\sqrt{10}}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-6±2\sqrt{10}}{-2} quando ± è più. Aggiungi -6 a 2\sqrt{10}.

$$n=\frac{2\sqrt{10}-6}{-2}$$

Dividi -6+2\sqrt{10} per -2.

$$n=3-\sqrt{10}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{-6±2\sqrt{10}}{-2} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{10} da -6.

$$n=\frac{-2\sqrt{10}-6}{-2}$$

Dividi -6-2\sqrt{10} per -2.

$$n=\sqrt{10}+3$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=3-\sqrt{10} n=\sqrt{10}+3$$

Procedura per completare il quadrato

Sottrai n^{2} da entrambi i lati.

$$5n-n^{2}=-n-1$$

Aggiungi n a entrambi i lati.

$$5n-n^{2}+n=-1$$

Combina 5n e n per ottenere 6n.

$$6n-n^{2}=-1$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-n^{2}+6n=-1$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-n^{2}+6n}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$n^{2}+\frac{6}{-1}n=-\frac{1}{-1}$$

Dividi 6 per -1.

$$n^{2}-6n=-\frac{1}{-1}$$

Dividi -1 per -1.

$$n^{2}-6n=1$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-6n+\left(-3\right)^{2}=1+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$n^{2}-6n+9=1+9$$

Aggiungi 1 a 9.

$$n^{2}-6n+9=10$$

Fattore n^{2}-6n+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-3\right)^{2}=10$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-3\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Semplifica.

$$n-3=\sqrt{10} n-3=-\sqrt{10}$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=\sqrt{10}+3 n=3-\sqrt{10}$$