Risolvi (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Trova x

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1,375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Combina 48x e -2x per ottenere 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Sottrai 3 da 36 per ottenere 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 16x^{2}+ax+bx+33. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 528.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

La soluzione è la coppia che restituisce 46 come somma.

$$a=22 b=24$$

Riscrivi 16x^{2}+46x+33 come \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right).

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 3 nel secondo gruppo.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Fattorizza il termine comune 8x+11 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 8x+11=0 e 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Combina 48x e -2x per ottenere 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Sottrai 3 da 36 per ottenere 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 16 a a, 46 a b e 33 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Eleva 46 al quadrato.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Moltiplica -4 per 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Moltiplica -64 per 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Aggiungi 2116 a -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Moltiplica 2 per 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-46±2}{32} quando ± è più. Aggiungi -46 a 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Riduci la frazione \frac{-44}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-46±2}{32} quando ± è meno. Sottrai 2 da -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Riduci la frazione \frac{-48}{32} ai minimi termini estraendo e annullando 16.

$$x=-\frac{3}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Combina 48x e -2x per ottenere 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Sottrai 36 da entrambi i lati.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Sottrai 36 da 3 per ottenere -33.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

La divisione per 16 annulla la moltiplicazione per 16.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Riduci la frazione \frac{46}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Dividi \frac{23}{8}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{23}{16}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{23}{16} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Eleva \frac{23}{16} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Aggiungi -\frac{33}{16} a \frac{529}{256} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Fattore x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

Sottrai \frac{23}{16} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$