Risolvi (4-3x)^2-64=0

$$( 4 - 3 x ) ^ { 2 } - 64 = 0$$

Trova x

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(4-3x\right)^{2}.

$$16-24x+9x^{2}-64=0$$

Sottrai 64 da 16 per ottenere -48.

$$-48-24x+9x^{2}=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$-16-8x+3x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$3x^{2}-8x-16=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-12 b=4$$

Riscrivi 3x^{2}-8x-16 come \left(3x^{2}-12x\right)+\left(4x-16\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(4x-16\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-4\right)+4\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(3x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e 3x+4=0.

$$x=4 x=-\frac{4}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(4-3x\right)^{2}.

$$16-24x+9x^{2}-64=0$$

Sottrai 64 da 16 per ottenere -48.

$$-48-24x+9x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$9x^{2}-24x-48=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -24 a b e -48 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Eleva -24 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\left(-48\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -48.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+1728}}{2\times 9}$$

Aggiungi 576 a 1728.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{2304}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 2304.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±48}{2\times 9}$$

L'opposto di -24 è 24.

$$x=\frac{24±48}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{24±48}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{24±48}{18} quando ± è più. Aggiungi 24 a 48.

$$x=\frac{72}{18}$$

Dividi 72 per 18.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{24±48}{18} quando ± è meno. Sottrai 48 da 24.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-\frac{4}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(4-3x\right)^{2}.

$$16-24x+9x^{2}-64=0$$

Sottrai 64 da 16 per ottenere -48.

$$-48-24x+9x^{2}=0$$

Aggiungi 48 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$-24x+9x^{2}=48$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x=48$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=\frac{48}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=\frac{48}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{48}{9}$$

Riduci la frazione \frac{48}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=\frac{16}{3}$$

Dividi -\frac{8}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{4}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{4}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{16}{3}+\frac{16}{9}$$

Aggiungi \frac{16}{3} a \frac{16}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{64}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{4}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{4}{3}=-\frac{8}{3}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-\frac{4}{3}$$