Risolvi (4sqrt{3}+frac{xsqrt{3}}{2})^2+x^2/4=156

$$( 4 \sqrt { 3 } + \frac { x \sqrt { 3 } } { 2 } ) ^ { 2 } + \frac { x ^ { 2 } } { 4 } = 156$$

Trova x

$$x=-18$$

$$x=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Annulla il massimo comune divisore 2 in 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Per elevare \frac{x\sqrt{3}}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 48 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Poiché \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Moltiplica 48 e 4 per ottenere 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Espandi \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Esprimi 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} come singola frazione.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Cancella 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 e x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Sottrai 624 da entrambi i lati.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Sottrai 624 da 192 per ottenere -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$-108+x^{2}+12x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{2}+12x-108=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-108. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=12 ab=1\left(-108\right)=-108$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -108.

$$-1,108 -2,54 -3,36 -4,27 -6,18 -9,12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+108=107 -2+54=52 -3+36=33 -4+27=23 -6+18=12 -9+12=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 12 come somma.

$$a=-6 b=18$$

Riscrivi x^{2}+12x-108 come \left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(18x-108\right)$$

Fattori in x nel primo e 18 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-6\right)+18\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+18\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+18=0.

$$x=6 x=-18$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Annulla il massimo comune divisore 2 in 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Per elevare \frac{x\sqrt{3}}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 48 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Poiché \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Moltiplica 48 e 4 per ottenere 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Espandi \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Esprimi 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} come singola frazione.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Cancella 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 e x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Sottrai 624 da entrambi i lati.

$$192+4x^{2}+48x-624=0$$

Sottrai 624 da 192 per ottenere -432.

$$-432+4x^{2}+48x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}+48x-432=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 48 a b e -432 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 48 al quadrato.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 4\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304-16\left(-432\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -432.

$$x=\frac{-48±\sqrt{2304+6912}}{2\times 4}$$

Aggiungi 2304 a 6912.

$$x=\frac{-48±\sqrt{9216}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 9216.

$$x=\frac{-48±96}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-48±96}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-48±96}{8} quando ± è più. Aggiungi -48 a 96.

$$x=\frac{48}{8}$$

Dividi 48 per 8.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-48±96}{8} quando ± è meno. Sottrai 96 da -48.

$$x=-\frac{144}{8}$$

Dividi -144 per 8.

$$x=-18$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-18$$

Procedura per completare il quadrato

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per 4.

$$4\left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+x^{2}=624$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4\sqrt{3}+\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}.

$$4\left(16\left(\sqrt{3}\right)^{2}+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4\left(16\times 3+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$4\left(48+8\sqrt{3}\times \frac{x\sqrt{3}}{2}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Annulla il massimo comune divisore 2 in 8 e 2.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\left(\frac{x\sqrt{3}}{2}\right)^{2}\right)+x^{2}=624$$

Per elevare \frac{x\sqrt{3}}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$4\left(48+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 48 per \frac{2^{2}}{2^{2}}.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}+\frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}\right)+x^{2}=624$$

Poiché \frac{48\times 2^{2}}{2^{2}} e \frac{\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$4\left(\frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}\right)+x^{2}=624$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+4x\sqrt{3}\sqrt{3}.

$$4\times \frac{48\times 2^{2}+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\times \frac{48\times 4+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Moltiplica 48 e 4 per ottenere 192.

$$4\times \frac{192+\left(x\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Espandi \left(x\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4\times \frac{192+x^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{2^{2}}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Esprimi 4\times \frac{192+x^{2}\times 3}{4} come singola frazione.

$$\frac{4\left(192+x^{2}\times 3\right)}{4}+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Cancella 4 e 4.

$$192+x^{2}\times 3+16\left(\sqrt{3}\right)^{2}x+x^{2}=624$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$192+x^{2}\times 3+16\times 3x+x^{2}=624$$

Moltiplica 16 e 3 per ottenere 48.

$$192+x^{2}\times 3+48x+x^{2}=624$$

Combina x^{2}\times 3 e x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$192+4x^{2}+48x=624$$

Sottrai 192 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+48x=624-192$$

Sottrai 192 da 624 per ottenere 432.

$$4x^{2}+48x=432$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+48x}{4}=\frac{432}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{48}{4}x=\frac{432}{4}$$

Dividi 48 per 4.

$$x^{2}+12x=\frac{432}{4}$$

Dividi 432 per 4.

$$x^{2}+12x=108$$

Dividi 12, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 6. Quindi aggiungi il quadrato di 6 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+12x+6^{2}=108+6^{2}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x^{2}+12x+36=108+36$$

Aggiungi 108 a 36.

$$x^{2}+12x+36=144$$

Fattore x^{2}+12x+36. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+6\right)^{2}=144$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+6\right)^{2}}=\sqrt{144}$$

Semplifica.

$$x+6=12 x+6=-12$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-18$$