Risolvi (3x-5)(x+2)leqx^2

$$( 3 x - 5 ) ( x + 2 ) \leq x ^ { 2 }$$

Risolvi per x

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3x-5 per x+2 e combinare i termini simili.

$$3x^{2}+x-10\leq x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+x-10-x^{2}\leq 0$$

Combina 3x^{2} e -x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}+x-10\leq 0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-10=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 2 con a, 1 con b e -10 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-10\right)}}{2\times 2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{-1±9}{4}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{-1±9}{4} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=2 x=-\frac{5}{2}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$2\left(x-2\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)\leq 0$$

Affinché il prodotto sia ≤0, uno dei valori x-2 e x+\frac{5}{2} deve essere ≥0 e l'altro ≤0. Consider the case when x-2\geq 0 and x+\frac{5}{2}\leq 0.

$$x-2\geq 0 x+\frac{5}{2}\leq 0$$

Falso per qualsiasi x.

$$x\in \emptyset$$

Consider the case when x-2\leq 0 and x+\frac{5}{2}\geq 0.

$$x+\frac{5}{2}\geq 0 x-2\leq 0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x\in \left[-\frac{5}{2},2\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x\in \begin{bmatrix}-\frac{5}{2},2\end{bmatrix}$$