Risolvi (3x-4)^2-(x+3)^2=0

$$( 3 x - 4 ) ^ { 2 } - ( x + 3 ) ^ { 2 } = 0$$

Trova x

$$x=\frac{1}{4}=0,25$$

$$x = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} = 3,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+6x+9, trova l'opposto di ogni termine.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Combina 9x^{2} e -x^{2} per ottenere 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Combina -24x e -6x per ottenere -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Sottrai 9 da 16 per ottenere 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 8x^{2}+ax+bx+7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-30 ab=8\times 7=56$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

La soluzione è la coppia che restituisce -30 come somma.

$$a=-28 b=-2$$

Riscrivi 8x^{2}-30x+7 come \left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right).

$$\left(8x^{2}-28x\right)+\left(-2x+7\right)$$

Fattorizza 4x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$4x\left(2x-7\right)-\left(2x-7\right)$$

Fattorizzare il termine comune 2x-7 usando la proprietà distributiva.

$$\left(2x-7\right)\left(4x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi 2x-7=0 e 4x-1=0.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+6x+9, trova l'opposto di ogni termine.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Combina 9x^{2} e -x^{2} per ottenere 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Combina -24x e -6x per ottenere -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Sottrai 9 da 16 per ottenere 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 8 a a, -30 a b e 7 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Eleva -30 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 8\times 7}}{2\times 8}$$

Moltiplica -4 per 8.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-32\times 7}}{2\times 8}$$

Moltiplica -32 per 7.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-224}}{2\times 8}$$

Aggiungi 900 a -224.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Calcola la radice quadrata di 676.

$$x=\frac{-\left(-30\right)±26}{2\times 8}$$

L'opposto di -30 è 30.

$$x=\frac{30±26}{2\times 8}$$

Moltiplica 2 per 8.

$$x=\frac{30±26}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{30±26}{16} quando ± è più. Aggiungi 30 a 26.

$$x=\frac{56}{16}$$

Riduci la frazione \frac{56}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 8.

$$x=\frac{7}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{30±26}{16} quando ± è meno. Sottrai 26 da 30.

$$x=\frac{4}{16}$$

Riduci la frazione \frac{4}{16} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{1}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3x-4\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x+3\right)^{2}=0$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+3\right)^{2}.

$$9x^{2}-24x+16-\left(x^{2}+6x+9\right)=0$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+6x+9, trova l'opposto di ogni termine.

$$9x^{2}-24x+16-x^{2}-6x-9=0$$

Combina 9x^{2} e -x^{2} per ottenere 8x^{2}.

$$8x^{2}-24x+16-6x-9=0$$

Combina -24x e -6x per ottenere -30x.

$$8x^{2}-30x+16-9=0$$

Sottrai 9 da 16 per ottenere 7.

$$8x^{2}-30x+7=0$$

Sottrai 7 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$8x^{2}-30x=-7$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8x^{2}-30x}{8}=-\frac{7}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{30}{8}\right)x=-\frac{7}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-30}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x=-\frac{7}{8}$$

Dividi -\frac{15}{4}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{8}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{8} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}=-\frac{7}{8}+\left(-\frac{15}{8}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{8} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=-\frac{7}{8}+\frac{225}{64}$$

Aggiungi -\frac{7}{8} a \frac{225}{64} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64}=\frac{169}{64}$$

Scomponi x^{2}-\frac{15}{4}x+\frac{225}{64} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{15}{8}=\frac{13}{8} x-\frac{15}{8}=-\frac{13}{8}$$

Aggiungi \frac{15}{8} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{7}{2} x=\frac{1}{4}$$