Risolvi (3x+5)^2=4

$$( 3 x + 5 ) ^ { 2 } = 4$$

Trova x

$$x=-1$$

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+30x+25-4=0$$

Sottrai 4 da 25 per ottenere 21.

$$9x^{2}+30x+21=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$3x^{2}+10x+7=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+7. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=3\times 7=21$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 21.

$$1,21 3,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+21=22 3+7=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=3 b=7$$

Riscrivi 3x^{2}+10x+7 come \left(3x^{2}+3x\right)+\left(7x+7\right).

$$\left(3x^{2}+3x\right)+\left(7x+7\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x+1\right)+7\left(x+1\right)$$

Fattorizza il termine comune x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+1\right)\left(3x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+1=0 e 3x+7=0.

$$x=-1 x=-\frac{7}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+30x+25-4=0$$

Sottrai 4 da 25 per ottenere 21.

$$9x^{2}+30x+21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 30 a b e 21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Eleva 30 al quadrato.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 9\times 21}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-36\times 21}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-756}}{2\times 9}$$

Aggiungi 900 a -756.

$$x=\frac{-30±\sqrt{144}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$x=\frac{-30±12}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{-30±12}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±12}{18} quando ± è più. Aggiungi -30 a 12.

$$x=-\frac{18}{18}$$

Dividi -18 per 18.

$$x=-1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-30±12}{18} quando ± è meno. Sottrai 12 da -30.

$$x=-\frac{42}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-42}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{7}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-1 x=-\frac{7}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+5\right)^{2}.

$$9x^{2}+30x+25=4$$

Sottrai 25 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+30x=4-25$$

Sottrai 25 da 4 per ottenere -21.

$$9x^{2}+30x=-21$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+30x}{9}=-\frac{21}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{30}{9}x=-\frac{21}{9}$$

Riduci la frazione \frac{30}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{21}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-21}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Dividi \frac{10}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{5}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{5}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{25}{9}$$

Aggiungi -\frac{7}{3} a \frac{25}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{4}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{5}{3}=\frac{2}{3} x+\frac{5}{3}=-\frac{2}{3}$$

Sottrai \frac{5}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-1 x=-\frac{7}{3}$$