Risolvi (3x+1)^2=9

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

Trova x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Sottrai 9 da 1 per ottenere -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 9x^{2}+ax+bx-8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 6 come somma.

$$a=-6 b=12$$

Riscrivi 9x^{2}+6x-8 come \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 4 nel secondo gruppo.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-2=0 e 3x+4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Sottrai 9 da 1 per ottenere -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 6 a b e -8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

Aggiungi 36 a 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±18}{18} quando ± è più. Aggiungi -6 a 18.

$$x=\frac{12}{18}$$

Riduci la frazione \frac{12}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±18}{18} quando ± è meno. Sottrai 18 da -6.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Riduci la frazione \frac{-24}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

Sottrai 1 da 9 per ottenere 8.

$$9x^{2}+6x=8$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

Riduci la frazione \frac{6}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

Dividi \frac{2}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

Aggiungi \frac{8}{9} a \frac{1}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

Fattore x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

Sottrai \frac{1}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$