Risolvi (3t-8)^2-16=0

$$( 3 t - 8 ) ^ { 2 } - 16 = 0$$

Trova t

$$t=4$$

$$t = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Sottrai 16 da 64 per ottenere 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$3t^{2}-16t+16=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3t^{2}+at+bt+16. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-16 ab=3\times 16=48$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

La soluzione è la coppia che restituisce -16 come somma.

$$a=-12 b=-4$$

Riscrivi 3t^{2}-16t+16 come \left(3t^{2}-12t\right)+\left(-4t+16\right).

$$\left(3t^{2}-12t\right)+\left(-4t+16\right)$$

Fattori in 3t nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$3t\left(t-4\right)-4\left(t-4\right)$$

Fattorizza il termine comune t-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-4\right)\left(3t-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-4=0 e 3t-4=0.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Sottrai 16 da 64 per ottenere 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, -48 a b e 48 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 9\times 48}}{2\times 9}$$

Eleva -48 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 9\times 48}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-36\times 48}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per 48.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-1728}}{2\times 9}$$

Aggiungi 2304 a -1728.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{576}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 576.

$$t=\frac{-\left(-48\right)±24}{2\times 9}$$

L'opposto di -48 è 48.

$$t=\frac{48±24}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$t=\frac{48±24}{18}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{48±24}{18} quando ± è più. Aggiungi 48 a 24.

$$t=\frac{72}{18}$$

Dividi 72 per 18.

$$t=4$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{48±24}{18} quando ± è meno. Sottrai 24 da 48.

$$t=\frac{24}{18}$$

Riduci la frazione \frac{24}{18} ai minimi termini estraendo e annullando 6.

$$t=\frac{4}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3t-8\right)^{2}.

$$9t^{2}-48t+64-16=0$$

Sottrai 16 da 64 per ottenere 48.

$$9t^{2}-48t+48=0$$

Sottrai 48 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$9t^{2}-48t=-48$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9t^{2}-48t}{9}=-\frac{48}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$t^{2}+\left(-\frac{48}{9}\right)t=-\frac{48}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-48}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t=-\frac{48}{9}$$

Riduci la frazione \frac{-48}{9} ai minimi termini estraendo e annullando 3.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t=-\frac{16}{3}$$

Dividi -\frac{16}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{8}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{8}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{64}{9}$$

Aggiungi -\frac{16}{3} a \frac{64}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}$$

Fattore t^{2}-\frac{16}{3}t+\frac{64}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} t-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=4 t=\frac{4}{3}$$