Risolvi (3-2x)^2-(5-x)(5+x)=-20

$$( 3 - 2 x ) ^ { 2 } - ( 5 - x ) ( 5 + x ) = - 20$$

Trova x

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3-2x\right)^{2}.

$$9-12x+4x^{2}-\left(5-x\right)\left(5+x\right)=-20$$

Considera \left(5-x\right)\left(5+x\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 5 al quadrato.

$$9-12x+4x^{2}-\left(25-x^{2}\right)=-20$$

Per trovare l'opposto di 25-x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$9-12x+4x^{2}-25+x^{2}=-20$$

Sottrai 25 da 9 per ottenere -16.

$$-16-12x+4x^{2}+x^{2}=-20$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$-16-12x+5x^{2}=-20$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati.

$$-16-12x+5x^{2}+20=0$$

E -16 e 20 per ottenere 4.

$$4-12x+5x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=5\times 4=20$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-10 b=-2$$

Riscrivi 5x^{2}-12x+4 come \left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(5x^{2}-10x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fattori in 5x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$5x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(5x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e 5x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3-2x\right)^{2}.

$$9-12x+4x^{2}-\left(5-x\right)\left(5+x\right)=-20$$

Considera \left(5-x\right)\left(5+x\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 5 al quadrato.

$$9-12x+4x^{2}-\left(25-x^{2}\right)=-20$$

Per trovare l'opposto di 25-x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$9-12x+4x^{2}-25+x^{2}=-20$$

Sottrai 25 da 9 per ottenere -16.

$$-16-12x+4x^{2}+x^{2}=-20$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$-16-12x+5x^{2}=-20$$

Aggiungi 20 a entrambi i lati.

$$-16-12x+5x^{2}+20=0$$

E -16 e 20 per ottenere 4.

$$4-12x+5x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$5x^{2}-12x+4=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -12 a b e 4 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 5\times 4}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-20\times 4}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-80}}{2\times 5}$$

Aggiungi 144 a -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{64}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 64.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±8}{2\times 5}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±8}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{12±8}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±8}{10} quando ± è più. Aggiungi 12 a 8.

$$x=\frac{20}{10}$$

Dividi 20 per 10.

$$x=2$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±8}{10} quando ± è meno. Sottrai 8 da 12.

$$x=\frac{4}{10}$$

Riduci la frazione \frac{4}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{2}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3-2x\right)^{2}.

$$9-12x+4x^{2}-\left(5-x\right)\left(5+x\right)=-20$$

Considera \left(5-x\right)\left(5+x\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 5 al quadrato.

$$9-12x+4x^{2}-\left(25-x^{2}\right)=-20$$

Per trovare l'opposto di 25-x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$9-12x+4x^{2}-25+x^{2}=-20$$

Sottrai 25 da 9 per ottenere -16.

$$-16-12x+4x^{2}+x^{2}=-20$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$-16-12x+5x^{2}=-20$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati.

$$-12x+5x^{2}=-20+16$$

E -20 e 16 per ottenere -4.

$$-12x+5x^{2}=-4$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}-12x=-4$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-12x}{5}=-\frac{4}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x=-\frac{4}{5}$$

Dividi -\frac{12}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{6}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{6}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}=-\frac{4}{5}+\left(-\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{6}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=-\frac{4}{5}+\frac{36}{25}$$

Aggiungi -\frac{4}{5} a \frac{36}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{16}{25}$$

Fattore x^{2}-\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{6}{5}=\frac{4}{5} x-\frac{6}{5}=-\frac{4}{5}$$

Aggiungi \frac{6}{5} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=\frac{2}{5}$$