Risolvi (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Scomponi in fattori

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Procedura della soluzione

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Fattorizza l'espressione raggruppandola. Per prima cosa, è necessario riscrivere l'espressione come -10x^{2}+ax+bx+22. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

La soluzione è la coppia che restituisce 51 come somma.

$$a=55 b=-4$$

Riscrivi -10x^{2}+51x+22 come \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Fattori in -5x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-11 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Eleva 51 al quadrato.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Moltiplica -4 per -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Moltiplica 40 per 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Aggiungi 2601 a 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Moltiplica 2 per -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-51±59}{-20} quando ± è più. Aggiungi -51 a 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Riduci la frazione \frac{8}{-20} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-51±59}{-20} quando ± è meno. Sottrai 59 da -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Riduci la frazione \frac{-110}{-20} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Scomponi in fattori l'espressione originale usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Sostituisci x_{1} con -\frac{2}{5} e x_{2} con \frac{11}{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Semplifica tutte le espressioni del modulo p-\left(-q\right) in p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Aggiungi \frac{2}{5} a x trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Sottrai \frac{11}{2} da x trovando un denominatore comune e sottraendo i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Moltiplica \frac{-5x-2}{-5} per \frac{-2x+11}{-2} moltiplicando il numeratore per il numeratore e il denominatore per il denominatore, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Moltiplica -5 per -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Annulla il massimo comune divisore 10 in -10 e 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Calcola

$$22+51x-10x^{2}$$