Risolvi (2y-3)^2-64=0

$$( 2 y - 3 ) ^ { 2 } - 64 = 0$$

Trova y

$$y = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$y = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2y-3\right)^{2}.

$$4y^{2}-12y+9-64=0$$

Sottrai 64 da 9 per ottenere -55.

$$4y^{2}-12y-55=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4y^{2}+ay+by-55. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-12 ab=4\left(-55\right)=-220$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -220.

$$1,-220 2,-110 4,-55 5,-44 10,-22 11,-20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-220=-219 2-110=-108 4-55=-51 5-44=-39 10-22=-12 11-20=-9$$

La soluzione è la coppia che restituisce -12 come somma.

$$a=-22 b=10$$

Riscrivi 4y^{2}-12y-55 come \left(4y^{2}-22y\right)+\left(10y-55\right).

$$\left(4y^{2}-22y\right)+\left(10y-55\right)$$

Fattori in 2y nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2y\left(2y-11\right)+5\left(2y-11\right)$$

Fattorizza il termine comune 2y-11 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2y-11\right)\left(2y+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2y-11=0 e 2y+5=0.

$$y=\frac{11}{2} y=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2y-3\right)^{2}.

$$4y^{2}-12y+9-64=0$$

Sottrai 64 da 9 per ottenere -55.

$$4y^{2}-12y-55=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -12 a b e -55 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-55\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-55\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-55\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -55.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+880}}{2\times 4}$$

Aggiungi 144 a 880.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{1024}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 1024.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±32}{2\times 4}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$y=\frac{12±32}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$y=\frac{12±32}{8}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{12±32}{8} quando ± è più. Aggiungi 12 a 32.

$$y=\frac{44}{8}$$

Riduci la frazione \frac{44}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y=\frac{11}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{12±32}{8} quando ± è meno. Sottrai 32 da 12.

$$y=-\frac{20}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$y=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{11}{2} y=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2y-3\right)^{2}.

$$4y^{2}-12y+9-64=0$$

Sottrai 64 da 9 per ottenere -55.

$$4y^{2}-12y-55=0$$

Aggiungi 55 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$4y^{2}-12y=55$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4y^{2}-12y}{4}=\frac{55}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)y=\frac{55}{4}$$

Dividi -12 per 4.

$$y^{2}-3y=\frac{55}{4}$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-3y+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{55}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=\frac{55+9}{4}$$

Aggiungi \frac{55}{4} a \frac{9}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$y^{2}-3y+\frac{9}{4}=16$$

Fattore y^{2}-3y+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}=16$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Semplifica.

$$y-\frac{3}{2}=4 y-\frac{3}{2}=-4$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{11}{2} y=-\frac{5}{2}$$