Risolvi (2y+3)^2+y^2=4

$$( 2 y + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$$

Trova y

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}\approx -0,536675042$$

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}\approx -1,863324958$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Combina 4y^{2} e y^{2} per ottenere 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$5y^{2}+12y+9-4=0$$

Sottrai 4 da 9 per ottenere 5.

$$5y^{2}+12y+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 12 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 5\times 5}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-20\times 5}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 5.

$$y=\frac{-12±\sqrt{144-100}}{2\times 5}$$

Aggiungi 144 a -100.

$$y=\frac{-12±\sqrt{44}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 44.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} quando ± è più. Aggiungi -12 a 2\sqrt{11}.

$$y=\frac{2\sqrt{11}-12}{10}$$

Dividi -12+2\sqrt{11} per 10.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{-12±2\sqrt{11}}{10} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{11} da -12.

$$y=\frac{-2\sqrt{11}-12}{10}$$

Dividi -12-2\sqrt{11} per 10.

$$y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2y+3\right)^{2}.

$$4y^{2}+12y+9+y^{2}=4$$

Combina 4y^{2} e y^{2} per ottenere 5y^{2}.

$$5y^{2}+12y+9=4$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$5y^{2}+12y=4-9$$

Sottrai 9 da 4 per ottenere -5.

$$5y^{2}+12y=-5$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5y^{2}+12y}{5}=-\frac{5}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-\frac{5}{5}$$

Dividi -5 per 5.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y=-1$$

Dividi \frac{12}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{6}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{6}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=-1+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{6}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=-1+\frac{36}{25}$$

Aggiungi -1 a \frac{36}{25}.

$$y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}=\frac{11}{25}$$

Fattore y^{2}+\frac{12}{5}y+\frac{36}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{11}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{25}}$$

Semplifica.

$$y+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{11}}{5} y+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{11}}{5}$$

Sottrai \frac{6}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=\frac{\sqrt{11}-6}{5} y=\frac{-\sqrt{11}-6}{5}$$