Risolvi (2x-3)^2=(x-1)(x-4)+9x

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x - 4 ) + 9 x$$

Trova x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=\left(x-1\right)\left(x-4\right)+9x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per x-4 e combinare i termini simili.

$$4x^{2}-12x+9=x^{2}-5x+4+9x$$

Combina -5x e 9x per ottenere 4x.

$$4x^{2}-12x+9=x^{2}+4x+4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}=4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9=4x+4$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$3x^{2}-12x+9-4x=4$$

Combina -12x e -4x per ottenere -16x.

$$3x^{2}-16x+9=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$3x^{2}-16x+9-4=0$$

Sottrai 4 da 9 per ottenere 5.

$$3x^{2}-16x+5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 15.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

La soluzione è la coppia che restituisce -16 come somma.

$$a=-15 b=-1$$

Riscrivi 3x^{2}-16x+5 come \left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right)$$

Fattori in 3x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e 3x-1=0.

$$x=5 x=\frac{1}{3}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=\left(x-1\right)\left(x-4\right)+9x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per x-4 e combinare i termini simili.

$$4x^{2}-12x+9=x^{2}-5x+4+9x$$

Combina -5x e 9x per ottenere 4x.

$$4x^{2}-12x+9=x^{2}+4x+4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}=4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9=4x+4$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$3x^{2}-12x+9-4x=4$$

Combina -12x e -4x per ottenere -16x.

$$3x^{2}-16x+9=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$3x^{2}-16x+9-4=0$$

Sottrai 4 da 9 per ottenere 5.

$$3x^{2}-16x+5=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, -16 a b e 5 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Eleva -16 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 5}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 5}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per 5.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-60}}{2\times 3}$$

Aggiungi 256 a -60.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±14}{2\times 3}$$

L'opposto di -16 è 16.

$$x=\frac{16±14}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{16±14}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{16±14}{6} quando ± è più. Aggiungi 16 a 14.

$$x=\frac{30}{6}$$

Dividi 30 per 6.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{16±14}{6} quando ± è meno. Sottrai 14 da 16.

$$x=\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=\frac{1}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=\left(x-1\right)\left(x-4\right)+9x$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-1 per x-4 e combinare i termini simili.

$$4x^{2}-12x+9=x^{2}-5x+4+9x$$

Combina -5x e 9x per ottenere 4x.

$$4x^{2}-12x+9=x^{2}+4x+4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}=4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9=4x+4$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$3x^{2}-12x+9-4x=4$$

Combina -12x e -4x per ottenere -16x.

$$3x^{2}-16x+9=4$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$3x^{2}-16x=4-9$$

Sottrai 9 da 4 per ottenere -5.

$$3x^{2}-16x=-5$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}-16x}{3}=-\frac{5}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{5}{3}$$

Dividi -\frac{16}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{8}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{8}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{5}{3}+\frac{64}{9}$$

Aggiungi -\frac{5}{3} a \frac{64}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{49}{9}$$

Fattore x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{7}{3}$$

Aggiungi \frac{8}{3} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=\frac{1}{3}$$