Risolvi (2x-1)^2=121

$$( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 121$$

Trova x

$$x=6$$

$$x=-5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Sottrai 121 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Sottrai 121 da 1 per ottenere -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-x-30=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-30. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

La soluzione è la coppia che restituisce -1 come somma.

$$a=-6 b=5$$

Riscrivi x^{2}-x-30 come \left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(5x-30\right)$$

Fattori in x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-6\right)+5\left(x-6\right)$$

Fattorizza il termine comune x-6 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-6=0 e x+5=0.

$$x=6 x=-5$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Sottrai 121 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-4x+1-121=0$$

Sottrai 121 da 1 per ottenere -120.

$$4x^{2}-4x-120=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -4 a b e -120 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -4 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -120.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 1920.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 1936.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±44}{2\times 4}$$

L'opposto di -4 è 4.

$$x=\frac{4±44}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{4±44}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±44}{8} quando ± è più. Aggiungi 4 a 44.

$$x=\frac{48}{8}$$

Dividi 48 per 8.

$$x=6$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{4±44}{8} quando ± è meno. Sottrai 44 da 4.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Dividi -40 per 8.

$$x=-5$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=6 x=-5$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+1=121$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-4x=121-1$$

Sottrai 1 da 121 per ottenere 120.

$$4x^{2}-4x=120$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{120}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{120}{4}$$

Dividi -4 per 4.

$$x^{2}-x=\frac{120}{4}$$

Dividi 120 per 4.

$$x^{2}-x=30$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 30 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}-x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=6 x=-5$$