Risolvi (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2,195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2,195955879$$

$$x=1$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Per trovare l'opposto di 9x^{2}-12x+4, trova l'opposto di ogni termine.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Combina -9x^{2} e -40x^{2} per ottenere -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Aggiungi 205 a entrambi i lati.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

E -4 e 205 per ottenere 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -5x per 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -35x+15x^{2} per 7+3x e combinare i termini simili.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combina 16x e -245x per ottenere -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Combina 4x^{2} e -49x^{2} per ottenere -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Combina -229x e 12x per ottenere -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

E 16 e 201 per ottenere 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Ridisponi l'equazione per convertirla nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Per razionale radice teorema, tutte le radici razionale di un polinomio sono nel formato \frac{p}{q}, dove p divide il termine costante 217 e q divide il coefficiente iniziale 45. Elenca tutti i candidati \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Trova una radice di questo tipo provando tutti i valori interi, partendo dal più piccolo in base al valore assoluto. Se non trovi radici di numeri interi, prova le frazioni.

$$x=1$$

Per teorema di fattore, x-k è un fattore del polinomio per ogni k radice. Dividi 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 per x-1 per ottenere 45x^{2}-217. Consente di risolvere l'equazione in cui il risultato è uguale a 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 45 con a, 0 con b e -217 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Risolvi l'equazione 45x^{2}-217=0 quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Elenca tutte le soluzioni trovate.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$