Risolvi (2x+3)(x^2-16)+(x-4)(x+40)=2(x-4)(x^2-16)

$$( 2 x + 3 ) ( x ^ { 2 } - 16 ) + ( x - 4 ) ( x + 40 ) = 2 ( x - 4 ) ( x ^ { 2 } - 16 )$$

Trova x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+3 per x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per x+40 e combinare i termini simili.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} e x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x e 36x per ottenere 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sottrai 160 da -48 per ottenere -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-8 per x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Sottrai 2x^{3} da entrambi i lati.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} per ottenere 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Aggiungi 32x a entrambi i lati.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x e 32x per ottenere 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Aggiungi 8x^{2} a entrambi i lati.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} e 8x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Sottrai 128 da entrambi i lati.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Sottrai 128 da -208 per ottenere -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$3x+x^{2}-28=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-4 b=7$$

Riscrivi x^{2}+3x-28 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Fattori in x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+3 per x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per x+40 e combinare i termini simili.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} e x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x e 36x per ottenere 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sottrai 160 da -48 per ottenere -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-8 per x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Sottrai 2x^{3} da entrambi i lati.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} per ottenere 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Aggiungi 32x a entrambi i lati.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x e 32x per ottenere 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Aggiungi 8x^{2} a entrambi i lati.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} e 8x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Sottrai 128 da entrambi i lati.

$$36x+12x^{2}-208-128=0$$

Sottrai 128 da -208 per ottenere -336.

$$36x+12x^{2}-336=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$12x^{2}+36x-336=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 12 a a, 36 a b e -336 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Eleva 36 al quadrato.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 12\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -4 per 12.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-48\left(-336\right)}}{2\times 12}$$

Moltiplica -48 per -336.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+16128}}{2\times 12}$$

Aggiungi 1296 a 16128.

$$x=\frac{-36±\sqrt{17424}}{2\times 12}$$

Calcola la radice quadrata di 17424.

$$x=\frac{-36±132}{2\times 12}$$

Moltiplica 2 per 12.

$$x=\frac{-36±132}{24}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-36±132}{24} quando ± è più. Aggiungi -36 a 132.

$$x=\frac{96}{24}$$

Dividi 96 per 24.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-36±132}{24} quando ± è meno. Sottrai 132 da -36.

$$x=-\frac{168}{24}$$

Dividi -168 per 24.

$$x=-7$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-7$$

Procedura per completare il quadrato

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x+3 per x^{2}-16.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+\left(x-4\right)\left(x+40\right)=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x-4 per x+40 e combinare i termini simili.

$$2x^{3}-32x+3x^{2}-48+x^{2}+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina 3x^{2} e x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$2x^{3}-32x+4x^{2}-48+36x-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Combina -32x e 36x per ottenere 4x.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-48-160=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Sottrai 160 da -48 per ottenere -208.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2\left(x-4\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per x-4.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=\left(2x-8\right)\left(x^{2}-16\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2x-8 per x^{2}-16.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208=2x^{3}-32x-8x^{2}+128$$

Sottrai 2x^{3} da entrambi i lati.

$$2x^{3}+4x+4x^{2}-208-2x^{3}=-32x-8x^{2}+128$$

Combina 2x^{3} e -2x^{3} per ottenere 0.

$$4x+4x^{2}-208=-32x-8x^{2}+128$$

Aggiungi 32x a entrambi i lati.

$$4x+4x^{2}-208+32x=-8x^{2}+128$$

Combina 4x e 32x per ottenere 36x.

$$36x+4x^{2}-208=-8x^{2}+128$$

Aggiungi 8x^{2} a entrambi i lati.

$$36x+4x^{2}-208+8x^{2}=128$$

Combina 4x^{2} e 8x^{2} per ottenere 12x^{2}.

$$36x+12x^{2}-208=128$$

Aggiungi 208 a entrambi i lati.

$$36x+12x^{2}=128+208$$

E 128 e 208 per ottenere 336.

$$36x+12x^{2}=336$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$12x^{2}+36x=336$$

Dividi entrambi i lati per 12.

$$\frac{12x^{2}+36x}{12}=\frac{336}{12}$$

La divisione per 12 annulla la moltiplicazione per 12.

$$x^{2}+\frac{36}{12}x=\frac{336}{12}$$

Dividi 36 per 12.

$$x^{2}+3x=\frac{336}{12}$$

Dividi 336 per 12.

$$x^{2}+3x=28$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 28 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}+3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-7$$