Risolvi (2x+3)^2-15^2=10^2-(x-1)^2

$$( 2 x + 3 ) ^ { 2 } - 15 ^ { 2 } = 10 ^ { 2 } - ( x - 1 ) ^ { 2 }$$

Trova x

$$x=-9$$

$$x=7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calcola 15 alla potenza di 2 e ottieni 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Sottrai 225 da 9 per ottenere -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calcola 10 alla potenza di 2 e ottieni 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-2x+1, trova l'opposto di ogni termine.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Sottrai 1 da 100 per ottenere 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Sottrai 99 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Sottrai 99 da -216 per ottenere -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Combina 12x e -2x per ottenere 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x^{2}+2x-63=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-63. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=2 ab=1\left(-63\right)=-63$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

La soluzione è la coppia che restituisce 2 come somma.

$$a=-7 b=9$$

Riscrivi x^{2}+2x-63 come \left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(9x-63\right)$$

Fattori in x nel primo e 9 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-7\right)+9\left(x-7\right)$$

Fattorizza il termine comune x-7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-7\right)\left(x+9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-7=0 e x+9=0.

$$x=7 x=-9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calcola 15 alla potenza di 2 e ottieni 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Sottrai 225 da 9 per ottenere -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calcola 10 alla potenza di 2 e ottieni 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-2x+1, trova l'opposto di ogni termine.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Sottrai 1 da 100 per ottenere 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Sottrai 99 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+12x-216-99=-x^{2}+2x$$

Sottrai 99 da -216 per ottenere -315.

$$4x^{2}+12x-315=-x^{2}+2x$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$4x^{2}+12x-315+x^{2}=2x$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-315=2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$5x^{2}+12x-315-2x=0$$

Combina 12x e -2x per ottenere 10x.

$$5x^{2}+10x-315=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 10 a b e -315 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-315\right)}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per -315.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+6300}}{2\times 5}$$

Aggiungi 100 a 6300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{6400}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 6400.

$$x=\frac{-10±80}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-10±80}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±80}{10} quando ± è più. Aggiungi -10 a 80.

$$x=\frac{70}{10}$$

Dividi 70 per 10.

$$x=7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±80}{10} quando ± è meno. Sottrai 80 da -10.

$$x=-\frac{90}{10}$$

Dividi -90 per 10.

$$x=-9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=7 x=-9$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+3\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x+9-15^{2}=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calcola 15 alla potenza di 2 e ottieni 225.

$$4x^{2}+12x+9-225=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Sottrai 225 da 9 per ottenere -216.

$$4x^{2}+12x-216=10^{2}-\left(x-1\right)^{2}$$

Calcola 10 alla potenza di 2 e ottieni 100.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x-1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$4x^{2}+12x-216=100-\left(x^{2}-2x+1\right)$$

Per trovare l'opposto di x^{2}-2x+1, trova l'opposto di ogni termine.

$$4x^{2}+12x-216=100-x^{2}+2x-1$$

Sottrai 1 da 100 per ottenere 99.

$$4x^{2}+12x-216=99-x^{2}+2x$$

Aggiungi x^{2} a entrambi i lati.

$$4x^{2}+12x-216+x^{2}=99+2x$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+12x-216=99+2x$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$5x^{2}+12x-216-2x=99$$

Combina 12x e -2x per ottenere 10x.

$$5x^{2}+10x-216=99$$

Aggiungi 216 a entrambi i lati.

$$5x^{2}+10x=99+216$$

E 99 e 216 per ottenere 315.

$$5x^{2}+10x=315$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+10x}{5}=\frac{315}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{10}{5}x=\frac{315}{5}$$

Dividi 10 per 5.

$$x^{2}+2x=\frac{315}{5}$$

Dividi 315 per 5.

$$x^{2}+2x=63$$

Dividi 2, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 1. Quindi aggiungi il quadrato di 1 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=63+1^{2}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x^{2}+2x+1=63+1$$

Aggiungi 63 a 1.

$$x^{2}+2x+1=64$$

Fattore x^{2}+2x+1. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=64$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Semplifica.

$$x+1=8 x+1=-8$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=7 x=-9$$