Risolvi (2x+1)^2-3=13

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } - 3 = 13$$

Trova x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-3=13$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$4x^{2}+4x-2=13$$

Sottrai 13 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x-2-13=0$$

Sottrai 13 da -2 per ottenere -15.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 4x^{2}+ax+bx-15. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-6 b=10$$

Riscrivi 4x^{2}+4x-15 come \left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(10x-15\right)$$

Fattori in 2x nel primo e 5 nel secondo gruppo.

$$2x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 2x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 2x-3=0 e 2x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-3=13$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$4x^{2}+4x-2=13$$

Sottrai 13 da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x-2-13=0$$

Sottrai 13 da -2 per ottenere -15.

$$4x^{2}+4x-15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, 4 a b e -15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -15.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Aggiungi 16 a 240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{-4±16}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±16}{8} quando ± è più. Aggiungi -4 a 16.

$$x=\frac{12}{8}$$

Riduci la frazione \frac{12}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±16}{8} quando ± è meno. Sottrai 16 da -4.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{8} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1-3=13$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$4x^{2}+4x-2=13$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x=13+2$$

E 13 e 2 per ottenere 15.

$$4x^{2}+4x=15$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{15}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{15}{4}$$

Dividi 4 per 4.

$$x^{2}+x=\frac{15}{4}$$

Dividi 1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Aggiungi \frac{15}{4} a \frac{1}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=4$$

Fattore x^{2}+x+\frac{1}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x+\frac{1}{2}=2 x+\frac{1}{2}=-2$$

Sottrai \frac{1}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{5}{2}$$