Risolvi (2x+1)^2=1+(x-1)(x+1)

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = 1 + ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Considera \left(x-1\right)\left(x+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 al quadrato.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Sottrai 1 da 1 per ottenere 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=3\times 1=3$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=3$$

Riscrivi 3x^{2}+4x+1 come \left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right).

$$\left(3x^{2}+x\right)+\left(3x+1\right)$$

Scomponi x in 3x^{2}+x.

$$x\left(3x+1\right)+3x+1$$

Fattorizza il termine comune 3x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x+1\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x+1=0 e x+1=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Considera \left(x-1\right)\left(x+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 al quadrato.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Sottrai 1 da 1 per ottenere 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 4 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Eleva 4 al quadrato.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 3}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-12}}{2\times 3}$$

Aggiungi 16 a -12.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-4±2}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-4±2}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2}{6} quando ± è più. Aggiungi -4 a 2.

$$x=-\frac{2}{6}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-4±2}{6} quando ± è meno. Sottrai 2 da -4.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Dividi -6 per 6.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=1+\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Considera \left(x-1\right)\left(x+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 1 al quadrato.

$$4x^{2}+4x+1=1+x^{2}-1$$

Sottrai 1 da 1 per ottenere 0.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=0$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=0$$

Sottrai 1 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$3x^{2}+4x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+4x}{3}=-\frac{1}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividi \frac{4}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{2}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{2}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{2}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{4}{9}$$

Aggiungi -\frac{1}{3} a \frac{4}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{2}{3}=\frac{1}{3} x+\frac{2}{3}=-\frac{1}{3}$$

Sottrai \frac{2}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{3} x=-1$$