Risolvi (2x+1)^2=(x-5)^2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } = ( x - 5 ) ^ { 2 }$$

Trova x

$$x=-6$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combina 4x e 10x per ottenere 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Sottrai 25 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Sottrai 25 da 1 per ottenere -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx-24. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=3\left(-24\right)=-72$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=-4 b=18$$

Riscrivi 3x^{2}+14x-24 come \left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right).

$$\left(3x^{2}-4x\right)+\left(18x-24\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(3x-4\right)+6\left(3x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-4\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-4=0 e x+6=0.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combina 4x e 10x per ottenere 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Sottrai 25 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+14x+1-25=0$$

Sottrai 25 da 1 per ottenere -24.

$$3x^{2}+14x-24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 3 a a, 14 a b e -24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 14 al quadrato.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -4 per 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-24\right)}}{2\times 3}$$

Moltiplica -12 per -24.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+288}}{2\times 3}$$

Aggiungi 196 a 288.

$$x=\frac{-14±\sqrt{484}}{2\times 3}$$

Calcola la radice quadrata di 484.

$$x=\frac{-14±22}{2\times 3}$$

Moltiplica 2 per 3.

$$x=\frac{-14±22}{6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±22}{6} quando ± è più. Aggiungi -14 a 22.

$$x=\frac{8}{6}$$

Riduci la frazione \frac{8}{6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±22}{6} quando ± è meno. Sottrai 22 da -14.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Dividi -36 per 6.

$$x=-6$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=\left(x-5\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1=x^{2}-10x+25$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+4x+1-x^{2}=-10x+25$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+4x+1=-10x+25$$

Aggiungi 10x a entrambi i lati.

$$3x^{2}+4x+1+10x=25$$

Combina 4x e 10x per ottenere 14x.

$$3x^{2}+14x+1=25$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+14x=25-1$$

Sottrai 1 da 25 per ottenere 24.

$$3x^{2}+14x=24$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$\frac{3x^{2}+14x}{3}=\frac{24}{3}$$

La divisione per 3 annulla la moltiplicazione per 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=\frac{24}{3}$$

Dividi 24 per 3.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x=8$$

Dividi \frac{14}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{7}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{7}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}=8+\left(\frac{7}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=8+\frac{49}{9}$$

Aggiungi 8 a \frac{49}{9}.

$$x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}=\frac{121}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{14}{3}x+\frac{49}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}=\frac{121}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{7}{3}=\frac{11}{3} x+\frac{7}{3}=-\frac{11}{3}$$

Sottrai \frac{7}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{4}{3} x=-6$$