Risolvi (2x+1)^2+(x+2)(x+1)=x+2

$$( 2 x + 1 ) ^ { 2 } + ( x + 2 ) ( x + 1 ) = x + 2$$

Trova x

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=-1$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Combina 4x e 3x per ottenere 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Combina 7x e -x per ottenere 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+6x+3-2=0$$

Sottrai 2 da 3 per ottenere 1.

$$5x^{2}+6x+1=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 5x^{2}+ax+bx+1. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=6 ab=5\times 1=5$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=1 b=5$$

Riscrivi 5x^{2}+6x+1 come \left(5x^{2}+x\right)+\left(5x+1\right).

$$\left(5x^{2}+x\right)+\left(5x+1\right)$$

Scomponi x in 5x^{2}+x.

$$x\left(5x+1\right)+5x+1$$

Fattorizza il termine comune 5x+1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x+1\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x+1=0 e x+1=0.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Combina 4x e 3x per ottenere 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Combina 7x e -x per ottenere 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Sottrai 2 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+6x+3-2=0$$

Sottrai 2 da 3 per ottenere 1.

$$5x^{2}+6x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, 6 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5}}{2\times 5}$$

Eleva 6 al quadrato.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20}}{2\times 5}$$

Aggiungi 36 a -20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{16}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-6±4}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{-6±4}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±4}{10} quando ± è più. Aggiungi -6 a 4.

$$x=-\frac{2}{10}$$

Riduci la frazione \frac{-2}{10} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-6±4}{10} quando ± è meno. Sottrai 4 da -6.

$$x=-\frac{10}{10}$$

Dividi -10 per 10.

$$x=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+1\right)^{2}.

$$4x^{2}+4x+1+\left(x+2\right)\left(x+1\right)=x+2$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+2 per x+1 e combinare i termini simili.

$$4x^{2}+4x+1+x^{2}+3x+2=x+2$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}+4x+1+3x+2=x+2$$

Combina 4x e 3x per ottenere 7x.

$$5x^{2}+7x+1+2=x+2$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$5x^{2}+7x+3=x+2$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$5x^{2}+7x+3-x=2$$

Combina 7x e -x per ottenere 6x.

$$5x^{2}+6x+3=2$$

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$5x^{2}+6x=2-3$$

Sottrai 3 da 2 per ottenere -1.

$$5x^{2}+6x=-1$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=-\frac{1}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=-\frac{1}{5}$$

Dividi \frac{6}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{5}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{5} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{5} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=-\frac{1}{5}+\frac{9}{25}$$

Aggiungi -\frac{1}{5} a \frac{9}{25} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{4}{25}$$

Fattore x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{4}{25}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{25}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{2}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{2}{5}$$

Sottrai \frac{3}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-\frac{1}{5} x=-1$$