Risolvi (2k-3)^2-4(3-2k)<0

$$( 2 k - 3 ) ^ { 2 } - 4 ( 3 - 2 k ) < 0$$

Risolvi per k

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2k-3\right)^{2}.

$$4k^{2}-12k+9-4\left(3-2k\right)<0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -4 per 3-2k.

$$4k^{2}-12k+9-12+8k<0$$

Sottrai 12 da 9 per ottenere -3.

$$4k^{2}-12k-3+8k<0$$

Combina -12k e 8k per ottenere -4k.

$$4k^{2}-4k-3<0$$

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$4k^{2}-4k-3=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 4 con a, -4 con b e -3 con c nella formula quadratica.

$$k=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Esegui i calcoli.

$$k=\frac{4±8}{8}$$

Risolvi l'equazione k=\frac{4±8}{8} quando ± è più e quando ± è meno.

$$k=\frac{3}{2} k=-\frac{1}{2}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$4\left(k-\frac{3}{2}\right)\left(k+\frac{1}{2}\right)<0$$

Affinché il prodotto sia negativo, k-\frac{3}{2} e k+\frac{1}{2} devono avere segni opposti. Considera il caso in cui k-\frac{3}{2} è positiva e k+\frac{1}{2} è negativa.

$$k-\frac{3}{2}>0 k+\frac{1}{2}<0$$

Falso per qualsiasi k.

$$k\in \emptyset$$

Considera il caso in cui k+\frac{1}{2} è positiva e k-\frac{3}{2} è negativa.

$$k+\frac{1}{2}>0 k-\frac{3}{2}<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right).

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$k\in \left(-\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$$