Risolvi (100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

Trova x

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Calcola 100 alla potenza di 2 e ottieni 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

E 10000 e 10000 per ottenere 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Sottrai 400x da entrambi i lati.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combina 200x e -400x per ottenere -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Sottrai 10000 da entrambi i lati.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Sottrai 10000 da 20000 per ottenere 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx+10000. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -30000.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

La soluzione è la coppia che restituisce -200 come somma.

$$a=100 b=-300$$

Riscrivi -3x^{2}-200x+10000 come \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right).

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

Fattori in -x nel primo e -100 nel secondo gruppo.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Fattorizza il termine comune 3x-100 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 3x-100=0 e -x-100=0.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Calcola 100 alla potenza di 2 e ottieni 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

E 10000 e 10000 per ottenere 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Sottrai 400x da entrambi i lati.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combina 200x e -400x per ottenere -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Sottrai 10000 da entrambi i lati.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

Sottrai 10000 da 20000 per ottenere 10000.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -3 a a, -200 a b e 10000 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Eleva -200 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica -4 per -3.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 12 per 10000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

Aggiungi 40000 a 120000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 160000.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

L'opposto di -200 è 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

Moltiplica 2 per -3.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{200±400}{-6} quando ± è più. Aggiungi 200 a 400.

$$x=\frac{600}{-6}$$

Dividi 600 per -6.

$$x=-100$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{200±400}{-6} quando ± è meno. Sottrai 400 da 200.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

Riduci la frazione \frac{-200}{-6} ai minimi termini estraendo e annullando 2.

$$x=\frac{100}{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Procedura per completare il quadrato

Calcola 100 alla potenza di 2 e ottieni 10000.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+100\right)^{2}.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

E 10000 e 10000 per ottenere 20000.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+100\right)^{2}.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Sottrai 400x da entrambi i lati.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

Combina 200x e -400x per ottenere -200x.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Sottrai 20000 da entrambi i lati.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

Sottrai 20000 da 10000 per ottenere -10000.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

La divisione per -3 annulla la moltiplicazione per -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

Dividi -200 per -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

Dividi -10000 per -3.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

Dividi \frac{200}{3}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{100}{3}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{100}{3} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{100}{3} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Aggiungi \frac{10000}{3} a \frac{10000}{9} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Fattore x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Sottrai \frac{100}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$