Risolvi (-12-k)^2-4(4)(4)=0

$$( - 12 - k ) ^ { 2 } - 4 ( 4 ) ( 4 ) = 0$$

Trova k

$$k=-20$$

$$k=-4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Moltiplica 4 e 4 per ottenere 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Moltiplica 16 e 4 per ottenere 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Sottrai 64 da 144 per ottenere 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore k^{2}+24k+80 utilizzando la formula k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=24 ab=80$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 80.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

La soluzione è la coppia che restituisce 24 come somma.

$$a=4 b=20$$

Riscrivi scomposte espressione \left(k+a\right)\left(k+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere k+4=0 e k+20=0.

$$k=-4 k=-20$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Moltiplica 4 e 4 per ottenere 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Moltiplica 16 e 4 per ottenere 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Sottrai 64 da 144 per ottenere 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come k^{2}+ak+bk+80. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=24 ab=1\times 80=80$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 80.

$$1,80 2,40 4,20 5,16 8,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+80=81 2+40=42 4+20=24 5+16=21 8+10=18$$

La soluzione è la coppia che restituisce 24 come somma.

$$a=4 b=20$$

Riscrivi k^{2}+24k+80 come \left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right).

$$\left(k^{2}+4k\right)+\left(20k+80\right)$$

Fattori in k nel primo e 20 nel secondo gruppo.

$$k\left(k+4\right)+20\left(k+4\right)$$

Fattorizza il termine comune k+4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(k+4\right)\left(k+20\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere k+4=0 e k+20=0.

$$k=-4 k=-20$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Moltiplica 4 e 4 per ottenere 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Moltiplica 16 e 4 per ottenere 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Sottrai 64 da 144 per ottenere 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$k^{2}+24k+80=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 24 a b e 80 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 80}}{2}$$

Eleva 24 al quadrato.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 80}}{2}$$

Moltiplica -4 per 80.

$$k=\frac{-24±\sqrt{576-320}}{2}$$

Aggiungi 576 a -320.

$$k=\frac{-24±\sqrt{256}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 256.

$$k=\frac{-24±16}{2}$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-24±16}{2} quando ± è più. Aggiungi -24 a 16.

$$k=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$k=-4$$

Ora risolvi l'equazione k=\frac{-24±16}{2} quando ± è meno. Sottrai 16 da -24.

$$k=-\frac{40}{2}$$

Dividi -40 per 2.

$$k=-20$$

L'equazione è stata risolta.

$$k=-4 k=-20$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-12-k\right)^{2}.

$$144+24k+k^{2}-4\times 4\times 4=0$$

Moltiplica 4 e 4 per ottenere 16.

$$144+24k+k^{2}-16\times 4=0$$

Moltiplica 16 e 4 per ottenere 64.

$$144+24k+k^{2}-64=0$$

Sottrai 64 da 144 per ottenere 80.

$$80+24k+k^{2}=0$$

Sottrai 80 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$24k+k^{2}=-80$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$k^{2}+24k=-80$$

Dividi 24, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 12. Quindi aggiungi il quadrato di 12 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$k^{2}+24k+12^{2}=-80+12^{2}$$

Eleva 12 al quadrato.

$$k^{2}+24k+144=-80+144$$

Aggiungi -80 a 144.

$$k^{2}+24k+144=64$$

Fattore k^{2}+24k+144. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+12\right)^{2}=64$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(k+12\right)^{2}}=\sqrt{64}$$

Semplifica.

$$k+12=8 k+12=-8$$

Sottrai 12 da entrambi i lati dell'equazione.

$$k=-4 k=-20$$