Risolvi (sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})-(sqrt{6}+sqrt{2})^2

$$( \sqrt { 5 } - \sqrt { 3 } ) ( \sqrt { 5 } + \sqrt { 3 } ) - ( \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } ) ^ { 2 }$$

Calcola

$$-4\sqrt{3}-6\approx -12,92820323$$

Procedura della soluzione

Considera \left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{5} è 5.

$$5-\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$5-3-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Sottrai 3 da 5 per ottenere 2.

$$2-\left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2-\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Il quadrato di \sqrt{6} è 6.

$$2-\left(6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Fattorizzare 6=2\times 3. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{2\times 3} come prodotto di radici quadrate \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$2-\left(6+2\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Moltiplica \sqrt{2} e \sqrt{2} per ottenere 2.

$$2-\left(6+2\times 2\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$2-\left(6+4\sqrt{3}+2\right)$$

E 6 e 2 per ottenere 8.

$$2-\left(8+4\sqrt{3}\right)$$

Per trovare l'opposto di 8+4\sqrt{3}, trova l'opposto di ogni termine.

$$2-8-4\sqrt{3}$$

Sottrai 8 da 2 per ottenere -6.

$$-6-4\sqrt{3}$$