Risolvi (1/x+1-1/1-xdivx^2/1-x^2

$$( \frac{ 1 }{ x+1 } - \frac{ 1 }{ 1-x } \div \frac{ { x }^{ 2 } }{ 1- { x }^{ 2 } }$$

Calcola

$$-\frac{2x+1}{\left(x+1\right)x^{2}}$$

Soluzione con pochi passaggi

Dividi \frac{1}{1-x} per\frac{x^{2}}{1-x^{2}} moltiplicando \frac{1}{1-x} per il reciproco di \frac{x^{2}}{1-x^{2}}.

$$\frac{1}{x+1}-\frac{1-x^{2}}{\left(1-x\right)x^{2}}$$

Scomponi in fattori le espressioni che non sono già scomposte in "\frac{1-x^{2}}{\left(1-x\right)x^{2}}".

$$\frac{1}{x+1}-\frac{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}{\left(-x+1\right)x^{2}}$$

Estrai il segno negativo in -1+x.

$$\frac{1}{x+1}-\frac{-\left(-x-1\right)\left(-x+1\right)}{\left(-x+1\right)x^{2}}$$

Cancella -x+1 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{1}{x+1}-\frac{-\left(-x-1\right)}{x^{2}}$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x+1 e x^{2} è \left(x+1\right)x^{2}. Moltiplica \frac{1}{x+1} per \frac{x^{2}}{x^{2}}. Moltiplica \frac{-\left(-x-1\right)}{x^{2}} per \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{x^{2}}{\left(x+1\right)x^{2}}-\frac{-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{2}}$$

Poiché \frac{x^{2}}{\left(x+1\right)x^{2}} e \frac{-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{x^{2}-\left(-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)\right)}{\left(x+1\right)x^{2}}$$

Esegui le moltiplicazioni in x^{2}-\left(-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)\right).

$$\frac{x^{2}-x^{2}-x-x-1}{\left(x+1\right)x^{2}}$$

Unisci i termini come in x^{2}-x^{2}-x-x-1.

$$\frac{-2x-1}{\left(x+1\right)x^{2}}$$

Espandi \left(x+1\right)x^{2}.

$$\frac{-2x-1}{x^{3}+x^{2}}$$

Differenzia rispetto a x

$$\frac{4x^{2}+5x+2}{\left(x+1\right)^{2}x^{3}}$$

Procedura usando la regola della derivata per il quoziente

Dividi \frac{1}{1-x} per\frac{x^{2}}{1-x^{2}} moltiplicando \frac{1}{1-x} per il reciproco di \frac{x^{2}}{1-x^{2}}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x+1}-\frac{1-x^{2}}{\left(1-x\right)x^{2}})$$

Scomponi in fattori le espressioni che non sono già scomposte in "\frac{1-x^{2}}{\left(1-x\right)x^{2}}".

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x+1}-\frac{\left(x-1\right)\left(-x-1\right)}{\left(-x+1\right)x^{2}})$$

Estrai il segno negativo in -1+x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x+1}-\frac{-\left(-x-1\right)\left(-x+1\right)}{\left(-x+1\right)x^{2}})$$

Cancella -x+1 nel numeratore e nel denominatore.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{1}{x+1}-\frac{-\left(-x-1\right)}{x^{2}})$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x+1 e x^{2} è \left(x+1\right)x^{2}. Moltiplica \frac{1}{x+1} per \frac{x^{2}}{x^{2}}. Moltiplica \frac{-\left(-x-1\right)}{x^{2}} per \frac{x+1}{x+1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}}{\left(x+1\right)x^{2}}-\frac{-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{2}})$$

Poiché \frac{x^{2}}{\left(x+1\right)x^{2}} e \frac{-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)x^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}-\left(-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)\right)}{\left(x+1\right)x^{2}})$$

Esegui le moltiplicazioni in x^{2}-\left(-\left(-x-1\right)\left(x+1\right)\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{x^{2}-x^{2}-x-x-1}{\left(x+1\right)x^{2}})$$

Unisci i termini come in x^{2}-x^{2}-x-x-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-2x-1}{\left(x+1\right)x^{2}})$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x+1 per x^{2}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{-2x-1}{x^{3}+x^{2}})$$

Per due funzioni differenziabili qualsiasi, la derivata del quoziente di due funzioni è il denominatore moltiplicato per la derivata del numeratore meno il numeratore moltiplicato per la derivata del denominatore, il tutto diviso per il denominatore al quadrato.

$$\frac{\left(x^{3}+x^{2}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2x^{1}-1)-\left(-2x^{1}-1\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3}+x^{2})}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

La derivata di un polinomio è la somma delle derivate dei relativi termini. La derivata di un termine costante è 0. La derivata di ax^{n} è nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{3}+x^{2}\right)\left(-2\right)x^{1-1}-\left(-2x^{1}-1\right)\left(3x^{3-1}+2x^{2-1}\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{\left(x^{3}+x^{2}\right)\left(-2\right)x^{0}-\left(-2x^{1}-1\right)\left(3x^{2}+2x^{1}\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

Moltiplica x^{3}+x^{2} per -2x^{0}.

$$\frac{x^{3}\left(-2\right)x^{0}+x^{2}\left(-2\right)x^{0}-\left(-2x^{1}-1\right)\left(3x^{2}+2x^{1}\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

Moltiplica -2x^{1}-1 per 3x^{2}+2x^{1}.

$$\frac{x^{3}\left(-2\right)x^{0}+x^{2}\left(-2\right)x^{0}-\left(-2x^{1}\times 3x^{2}-2x^{1}\times 2x^{1}-3x^{2}-2x^{1}\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti.

$$\frac{-2x^{3}-2x^{2}-\left(-2\times 3x^{1+2}-2\times 2x^{1+1}-3x^{2}-2x^{1}\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

Semplifica.

$$\frac{-2x^{3}-2x^{2}-\left(-6x^{3}-4x^{2}-3x^{2}-2x^{1}\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

Combina termini simili.

$$\frac{4x^{3}+2x^{2}-\left(-3x^{2}\right)-\left(-2x^{1}\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$

Per qualsiasi termine t, t^{1}=t.

$$\frac{4x^{3}+2x^{2}-\left(-3x^{2}\right)-\left(-2x\right)}{\left(x^{3}+x^{2}\right)^{2}}$$