Risolvi (6/25+x)^2x=32

$$( \frac { 6 } { 25 + x } ) ^ { 2 } x = 32$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}\approx -24,4375-5,273385416i$$

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}\approx -24,4375+5,273385416i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Per elevare \frac{6}{25+x} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Esprimi \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x come singola frazione.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Calcola 6 alla potenza di 2 e ottieni 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

Sottrai 32 da entrambi i lati.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}-32=0$$

Fattorizzare 625+50x+x^{2}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-32=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 32 per \frac{\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}.

$$\frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}}-\frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Poiché \frac{36x}{\left(x+25\right)^{2}} e \frac{32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{36x-32\left(x+25\right)^{2}}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Esegui le moltiplicazioni in 36x-32\left(x+25\right)^{2}.

$$\frac{36x-32x^{2}-1600x-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

Unisci i termini come in 36x-32x^{2}-1600x-20000.

$$\frac{-1564x-32x^{2}-20000}{\left(x+25\right)^{2}}=0$$

La variabile x non può essere uguale a -25 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+25\right)^{2}.

$$-1564x-32x^{2}-20000=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-32x^{2}-1564x-20000=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -32 a a, -1564 a b e -20000 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{\left(-1564\right)^{2}-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Eleva -1564 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-4\left(-32\right)\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Moltiplica -4 per -32.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096+128\left(-20000\right)}}{2\left(-32\right)}$$

Moltiplica 128 per -20000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{2446096-2560000}}{2\left(-32\right)}$$

Aggiungi 2446096 a -2560000.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±\sqrt{-113904}}{2\left(-32\right)}$$

Calcola la radice quadrata di -113904.

$$x=\frac{-\left(-1564\right)±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

L'opposto di -1564 è 1564.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{2\left(-32\right)}$$

Moltiplica 2 per -32.

$$x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} quando ± è più. Aggiungi 1564 a 12i\sqrt{791}.

$$x=\frac{1564+12\sqrt{791}i}{-64}$$

Dividi 1564+12i\sqrt{791} per -64.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1564±12\sqrt{791}i}{-64} quando ± è meno. Sottrai 12i\sqrt{791} da 1564.

$$x=\frac{-12\sqrt{791}i+1564}{-64}$$

Dividi 1564-12i\sqrt{791} per -64.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16} x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16}$$

Procedura per completare il quadrato

Per elevare \frac{6}{25+x} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x=32$$

Esprimi \frac{6^{2}}{\left(25+x\right)^{2}}x come singola frazione.

$$\frac{6^{2}x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Calcola 6 alla potenza di 2 e ottieni 36.

$$\frac{36x}{\left(25+x\right)^{2}}=32$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(25+x\right)^{2}.

$$\frac{36x}{625+50x+x^{2}}=32$$

La variabile x non può essere uguale a -25 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x+25\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+25\right)^{2}.

$$36x=32\left(x^{2}+50x+625\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 32 per x^{2}+50x+625.

$$36x=32x^{2}+1600x+20000$$

Sottrai 32x^{2} da entrambi i lati.

$$36x-32x^{2}=1600x+20000$$

Sottrai 1600x da entrambi i lati.

$$36x-32x^{2}-1600x=20000$$

Combina 36x e -1600x per ottenere -1564x.

$$-1564x-32x^{2}=20000$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-32x^{2}-1564x=20000$$

Dividi entrambi i lati per -32.

$$\frac{-32x^{2}-1564x}{-32}=\frac{20000}{-32}$$

La divisione per -32 annulla la moltiplicazione per -32.

$$x^{2}+\left(-\frac{1564}{-32}\right)x=\frac{20000}{-32}$$

Riduci la frazione \frac{-1564}{-32} ai minimi termini estraendo e annullando 4.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=\frac{20000}{-32}$$

Dividi 20000 per -32.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x=-625$$

Dividi \frac{391}{8}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{391}{16}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{391}{16} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}=-625+\left(\frac{391}{16}\right)^{2}$$

Eleva \frac{391}{16} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-625+\frac{152881}{256}$$

Aggiungi -625 a \frac{152881}{256}.

$$x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}=-\frac{7119}{256}$$

Fattore x^{2}+\frac{391}{8}x+\frac{152881}{256}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}=-\frac{7119}{256}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{391}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7119}{256}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{391}{16}=\frac{3\sqrt{791}i}{16} x+\frac{391}{16}=-\frac{3\sqrt{791}i}{16}$$

Sottrai \frac{391}{16} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{-391+3\sqrt{791}i}{16} x=\frac{-3\sqrt{791}i-391}{16}$$