Risolvi (12/y)^2+5y^2=16

$$( \frac { 12 } { y } ) ^ { 2 } + 5 y ^ { 2 } = 16$$

Trova y

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{-\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\approx 1,866355157-1,372327065i$$

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\approx -1,866355157+1,372327065i$$

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\approx 1,866355157+1,372327065i$$

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\approx -1,866355157-1,372327065i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Per elevare \frac{12}{y} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{12^{2}}{y^{2}}+5y^{2}=16$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 5y^{2} per \frac{y^{2}}{y^{2}}.

$$\frac{12^{2}}{y^{2}}+\frac{5y^{2}y^{2}}{y^{2}}=16$$

Poiché \frac{12^{2}}{y^{2}} e \frac{5y^{2}y^{2}}{y^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\frac{12^{2}+5y^{2}y^{2}}{y^{2}}=16$$

Esegui le moltiplicazioni in 12^{2}+5y^{2}y^{2}.

$$\frac{12^{2}+5y^{4}}{y^{2}}=16$$

Unisci i termini come in 12^{2}+5y^{4}.

$$\frac{144+5y^{4}}{y^{2}}=16$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$\frac{144+5y^{4}}{y^{2}}-16=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Moltiplica 16 per \frac{y^{2}}{y^{2}}.

$$\frac{144+5y^{4}}{y^{2}}-\frac{16y^{2}}{y^{2}}=0$$

Poiché \frac{144+5y^{4}}{y^{2}} e \frac{16y^{2}}{y^{2}} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{144+5y^{4}-16y^{2}}{y^{2}}=0$$

La variabile y non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per y^{2}.

$$144+5y^{4}-16y^{2}=0$$

Sostituisci t per y^{2}.

$$5t^{2}-16t+144=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 5 con a, -16 con b e 144 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 5\times 144}}{2\times 5}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{16±\sqrt{-2624}}{10}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{16±\sqrt{-2624}}{10} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=\frac{8+4\sqrt{41}i}{5} t=\frac{-4\sqrt{41}i+8}{5}$$

Poiché y=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando y=±\sqrt{t} per ogni t.

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5} y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5} y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{-\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5} y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}$$

La variabile y non può essere uguale a 0.

$$y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{-\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0 y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{-\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0 y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0 y=\frac{2\sqrt{3}\times 5^{\frac{3}{4}}e^{\frac{\arctan(\frac{\sqrt{41}}{2})i+2\pi i}{2}}}{5}\text{, }y\neq 0$$