Risolvi y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Trova y

$$y=6$$

$$y=9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Aggiungi 54 a entrambi i lati.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore y^{2}-15y+54 utilizzando la formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-15 ab=54$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La soluzione è la coppia che restituisce -15 come somma.

$$a=-9 b=-6$$

Riscrivi scomposte espressione \left(y+a\right)\left(y+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-9=0 e y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Aggiungi 54 a entrambi i lati.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come y^{2}+ay+by+54. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

La soluzione è la coppia che restituisce -15 come somma.

$$a=-9 b=-6$$

Riscrivi y^{2}-15y+54 come \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Fattori in y nel primo e -6 nel secondo gruppo.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Fattorizza il termine comune y-9 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere y-9=0 e y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$y^{2}-15y=-54$$

Aggiungi 54 a entrambi i lati dell'equazione.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Sottraendo -54 da se stesso rimane 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Sottrai -54 da 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -15 a b e 54 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Eleva -15 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Moltiplica -4 per 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Aggiungi 225 a -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

L'opposto di -15 è 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{15±3}{2} quando ± è più. Aggiungi 15 a 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Dividi 18 per 2.

$$y=9$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{15±3}{2} quando ± è meno. Sottrai 3 da 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Dividi 12 per 2.

$$y=6$$

L'equazione è stata risolta.

$$y=9 y=6$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Dividi -15, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{15}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{15}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Aggiungi -54 a \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore y^{2}-15y+\frac{225}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{15}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$y=9 y=6$$