Risolvi x^4+1/x^4=322

$${ x }^{ 4 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 4 } } =322$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x\in -\left(\sqrt{5}+2\right),-\sqrt{5}i-2i,\sqrt{5}i+2i,\sqrt{5}+2,-\sqrt{5}i+2i,2-\sqrt{5},\sqrt{5}i-2i,\sqrt{5}-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{4}.

$$x^{4}x^{4}+1=322x^{4}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 4 e 4 per ottenere 8.

$$x^{8}+1=322x^{4}$$

Sottrai 322x^{4} da entrambi i lati.

$$x^{8}+1-322x^{4}=0$$

Sostituisci t per x^{4}.

$$t^{2}-322t+1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -322 con b e 1 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-322\right)±\sqrt{\left(-322\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=72\sqrt{5}+161 t=161-72\sqrt{5}$$

Poiché x=t^{4}, le soluzioni vengono ottenute risolvendo l'equazione per ogni t.

$$x=-\left(\sqrt{5}i+2i\right) x=-\left(\sqrt{5}+2\right) x=\sqrt{5}i+2i x=\sqrt{5}+2 x=-\sqrt{5}i+2i x=2-\sqrt{5} x=-\left(-\sqrt{5}i+2i\right) x=-\left(2-\sqrt{5}\right)$$

Trova x

$$x=-\left(\sqrt{5}+2\right)\approx -4,236067977$$

$$x=\sqrt{5}+2\approx 4,236067977$$

$$x=\sqrt{5}-2\approx 0,236067977$$

$$x=2-\sqrt{5}\approx -0,236067977$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

La variabile x non può essere uguale a 0 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x^{4}.

$$x^{4}x^{4}+1=322x^{4}$$

Per moltiplicare le potenze della stessa base, somma i relativi esponenti. Somma 4 e 4 per ottenere 8.

$$x^{8}+1=322x^{4}$$

Sottrai 322x^{4} da entrambi i lati.

$$x^{8}+1-322x^{4}=0$$

Sostituisci t per x^{4}.

$$t^{2}-322t+1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -322 con b e 1 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-322\right)±\sqrt{\left(-322\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{322±144\sqrt{5}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=72\sqrt{5}+161 t=161-72\sqrt{5}$$

Poiché x=t^{4}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt[4]{t} per t positivo.

$$x=\sqrt{5}+2 x=-\left(\sqrt{5}+2\right) x=-\left(2-\sqrt{5}\right) x=2-\sqrt{5}$$