Risolvi x^2-x-1>0

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

Risolvi per x

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Per risolvere la disuguaglianza, scomponi in fattori il lato sinistro. Il polinomio quadratico può essere scomposto in fattori utilizzando la trasformazione ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), dove x_{1} e x_{2} sono le soluzioni dell'equazione quadratica ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-x-1=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 1 con a, -1 con b e -1 con c nella formula quadratica.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Esegui i calcoli.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} quando ± è più e quando ± è meno.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Riscrivi la disuguaglianza usando le soluzioni ottenute.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Affinché il prodotto sia positivo, x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} devono essere entrambi negativi o positivi. Considera il caso in cui x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} sono entrambi negativi.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Considera il caso in cui x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} e x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} sono entrambi positivi.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

La soluzione che soddisfa entrambe le disuguaglianze è x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

La soluzione finale è l'unione delle soluzioni ottenute.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$