Risolvi x^2-x-1=0

$${ x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-x-1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -1 a b e -1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4}}{2}$$

Aggiungi 1 a 4.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{5}}{2}$$

L'opposto di -1 è 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} quando ± è più. Aggiungi 1 a \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{5} da 1.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-1=0$$

Aggiungi 1 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Sottraendo -1 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Sottrai -1 da 0.

$$x^{2}-x=1$$

Dividi -1, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Aggiungi 1 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Scomponi x^{2}-x+\frac{1}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$