Risolvi x^2-6x+11=0

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1.414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1.414213562i$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -6 a b e 11 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Eleva -6 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

Moltiplica -4 per 11.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

Aggiungi 36 a -44.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di -8.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

L'opposto di -6 è 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} quando ± è più. Aggiungi 6 a 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

Dividi 6+2i\sqrt{2} per 2.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} quando ± è meno. Sottrai 2i\sqrt{2} da 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

Dividi 6-2i\sqrt{2} per 2.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Sottrai 11 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

Sottraendo 11 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-6x=-11$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

Aggiungi -11 a 9.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

Scomponi x^{2}-6x+9 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Semplifica.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$