Risolvi x^2-21x+104=0

$${ x }^{ 2 } -21x+104=0$$

Trova x

$$x=8$$

$$x=13$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}-21x+104 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-21 ab=104$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

La soluzione è la coppia che restituisce -21 come somma.

$$a=-13 b=-8$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-13=0 e x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+104. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-21 ab=1\times 104=104$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 104.

$$-1,-104 -2,-52 -4,-26 -8,-13$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-104=-105 -2-52=-54 -4-26=-30 -8-13=-21$$

La soluzione è la coppia che restituisce -21 come somma.

$$a=-13 b=-8$$

Riscrivi x^{2}-21x+104 come \left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right).

$$\left(x^{2}-13x\right)+\left(-8x+104\right)$$

Fattorizza x nel primo e -8 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-13\right)-8\left(x-13\right)$$

Fattorizzare il termine comune x-13 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x-13\right)\left(x-8\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x-13=0 e x-8=0.

$$x=13 x=8$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -21 a b e 104 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 104}}{2}$$

Eleva -21 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 104}}{2}$$

Moltiplica -4 per 104.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-416}}{2}$$

Aggiungi 441 a -416.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{25}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 25.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±5}{2}$$

L'opposto di -21 è 21.

$$x=\frac{21±5}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{21±5}{2} quando ± è più. Aggiungi 21 a 5.

$$x=\frac{26}{2}$$

Dividi 26 per 2.

$$x=13$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{21±5}{2} quando ± è meno. Sottrai 5 da 21.

$$x=\frac{16}{2}$$

Dividi 16 per 2.

$$x=8$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=13 x=8$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x+104=0$$

Sottrai 104 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-21x+104-104=-104$$

Sottraendo 104 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-21x=-104$$

Dividi -21, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{21}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{21}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=-104+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{21}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=-104+\frac{441}{4}$$

Aggiungi -104 a \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{25}{4}$$

Scomponi x^{2}-21x+\frac{441}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{5}{2}$$

Aggiungi \frac{21}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=13 x=8$$