Risolvi x^2-10x-299=0

$${ x }^{ 2 } -10x-299 = 0$$

Trova x

$$x=-13$$

$$x=23$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-10x-299 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-10 ab=-299$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -299.

$$1,-299 13,-23$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-299=-298 13-23=-10$$

La soluzione è la coppia che restituisce -10 come somma.

$$a=-23 b=13$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-23\right)\left(x+13\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-23=0 e x+13=0.

$$x=23 x=-13$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-299. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-10 ab=1\left(-299\right)=-299$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -299.

$$1,-299 13,-23$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-299=-298 13-23=-10$$

La soluzione è la coppia che restituisce -10 come somma.

$$a=-23 b=13$$

Riscrivi x^{2}-10x-299 come \left(x^{2}-23x\right)+\left(13x-299\right).

$$\left(x^{2}-23x\right)+\left(13x-299\right)$$

Fattori in x nel primo e 13 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-23\right)+13\left(x-23\right)$$

Fattorizza il termine comune x-23 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-23\right)\left(x+13\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-23=0 e x+13=0.

$$x=23 x=-13$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-10x-299=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -10 a b e -299 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\left(-299\right)}}{2}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\left(-299\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -299.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100+1196}}{2}$$

Aggiungi 100 a 1196.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1296.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±36}{2}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±36}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±36}{2} quando ± è più. Aggiungi 10 a 36.

$$x=\frac{46}{2}$$

Dividi 46 per 2.

$$x=23$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±36}{2} quando ± è meno. Sottrai 36 da 10.

$$x=-\frac{26}{2}$$

Dividi -26 per 2.

$$x=-13$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=23 x=-13$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x-299=0$$

Aggiungi 299 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-10x-299-\left(-299\right)=-\left(-299\right)$$

Sottraendo -299 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-10x=-\left(-299\right)$$

Sottrai -299 da 0.

$$x^{2}-10x=299$$

Dividi -10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -5. Quindi aggiungi il quadrato di -5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=299+\left(-5\right)^{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x^{2}-10x+25=299+25$$

Aggiungi 299 a 25.

$$x^{2}-10x+25=324$$

Fattore x^{2}-10x+25. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=324$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Semplifica.

$$x-5=18 x-5=-18$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=23 x=-13$$