Risolvi x^2-10x+11=0

$${ x }^{ 2 } -10x+11=0$$

Trova x

$$x=\sqrt{14}+5\approx 8,741657387$$

$$x=5-\sqrt{14}\approx 1,258342613$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -10 a b e 11 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

Eleva -10 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 11}}{2}$$

Moltiplica -4 per 11.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-44}}{2}$$

Aggiungi 100 a -44.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{56}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 56.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{14}}{2}$$

L'opposto di -10 è 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} quando ± è più. Aggiungi 10 a 2\sqrt{14}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}+10}{2}$$

Dividi 10+2\sqrt{14} per 2.

$$x=\sqrt{14}+5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{10±2\sqrt{14}}{2} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{14} da 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{14}}{2}$$

Dividi 10-2\sqrt{14} per 2.

$$x=5-\sqrt{14}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+11=0$$

Sottrai 11 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}-10x+11-11=-11$$

Sottraendo 11 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}-10x=-11$$

Dividi -10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -5. Quindi aggiungi il quadrato di -5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-11+\left(-5\right)^{2}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x^{2}-10x+25=-11+25$$

Aggiungi -11 a 25.

$$x^{2}-10x+25=14$$

Fattore x^{2}-10x+25. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-5\right)^{2}=14$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{14}$$

Semplifica.

$$x-5=\sqrt{14} x-5=-\sqrt{14}$$

Aggiungi 5 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\sqrt{14}+5 x=5-\sqrt{14}$$