Risolvi x^2+34x+240=0

$${ x }^{ 2 } +34x+240=0$$

Trova x

$$x=-24$$

$$x=-10$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+34x+240 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=34 ab=240$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

La soluzione è la coppia che restituisce 34 come somma.

$$a=10 b=24$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+10=0 e x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+240. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=34 ab=1\times 240=240$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 240.

$$1,240 2,120 3,80 4,60 5,48 6,40 8,30 10,24 12,20 15,16$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+240=241 2+120=122 3+80=83 4+60=64 5+48=53 6+40=46 8+30=38 10+24=34 12+20=32 15+16=31$$

La soluzione è la coppia che restituisce 34 come somma.

$$a=10 b=24$$

Riscrivi x^{2}+34x+240 come \left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right).

$$\left(x^{2}+10x\right)+\left(24x+240\right)$$

Fattori in x nel primo e 24 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+10\right)+24\left(x+10\right)$$

Fattorizza il termine comune x+10 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+10\right)\left(x+24\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+10=0 e x+24=0.

$$x=-10 x=-24$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 34 a b e 240 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-34±\sqrt{34^{2}-4\times 240}}{2}$$

Eleva 34 al quadrato.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-4\times 240}}{2}$$

Moltiplica -4 per 240.

$$x=\frac{-34±\sqrt{1156-960}}{2}$$

Aggiungi 1156 a -960.

$$x=\frac{-34±\sqrt{196}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 196.

$$x=\frac{-34±14}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-34±14}{2} quando ± è più. Aggiungi -34 a 14.

$$x=-\frac{20}{2}$$

Dividi -20 per 2.

$$x=-10$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-34±14}{2} quando ± è meno. Sottrai 14 da -34.

$$x=-\frac{48}{2}$$

Dividi -48 per 2.

$$x=-24$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-10 x=-24$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+34x+240=0$$

Sottrai 240 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+34x+240-240=-240$$

Sottraendo 240 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+34x=-240$$

Dividi 34, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 17. Quindi aggiungi il quadrato di 17 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+34x+17^{2}=-240+17^{2}$$

Eleva 17 al quadrato.

$$x^{2}+34x+289=-240+289$$

Aggiungi -240 a 289.

$$x^{2}+34x+289=49$$

Fattore x^{2}+34x+289. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+17\right)^{2}=49$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+17\right)^{2}}=\sqrt{49}$$

Semplifica.

$$x+17=7 x+17=-7$$

Sottrai 17 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-10 x=-24$$