Risolvi x^2+25x+100=0

$${ x }^{ 2 } +25x+100=0$$

Trova x

$$x=-20$$

$$x=-5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}+25x+100 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=25 ab=100$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

La soluzione è la coppia che restituisce 25 come somma.

$$a=5 b=20$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x+5=0 e x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+100. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=25 ab=1\times 100=100$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 100.

$$1,100 2,50 4,25 5,20 10,10$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+100=101 2+50=52 4+25=29 5+20=25 10+10=20$$

La soluzione è la coppia che restituisce 25 come somma.

$$a=5 b=20$$

Riscrivi x^{2}+25x+100 come \left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right).

$$\left(x^{2}+5x\right)+\left(20x+100\right)$$

Fattorizza x nel primo e 20 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+5\right)+20\left(x+5\right)$$

Fattorizzare il termine comune x+5 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x+5\right)\left(x+20\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x+5=0 e x+20=0.

$$x=-5 x=-20$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 25 a b e 100 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-25±\sqrt{25^{2}-4\times 100}}{2}$$

Eleva 25 al quadrato.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-4\times 100}}{2}$$

Moltiplica -4 per 100.

$$x=\frac{-25±\sqrt{625-400}}{2}$$

Aggiungi 625 a -400.

$$x=\frac{-25±\sqrt{225}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 225.

$$x=\frac{-25±15}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-25±15}{2} quando ± è più. Aggiungi -25 a 15.

$$x=-\frac{10}{2}$$

Dividi -10 per 2.

$$x=-5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-25±15}{2} quando ± è meno. Sottrai 15 da -25.

$$x=-\frac{40}{2}$$

Dividi -40 per 2.

$$x=-20$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-5 x=-20$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+25x+100=0$$

Sottrai 100 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+25x+100-100=-100$$

Sottraendo 100 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+25x=-100$$

Dividi 25, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{25}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{25}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+25x+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}=-100+\left(\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{25}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=-100+\frac{625}{4}$$

Aggiungi -100 a \frac{625}{4}.

$$x^{2}+25x+\frac{625}{4}=\frac{225}{4}$$

Scomponi x^{2}+25x+\frac{625}{4} in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{225}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{25}{2}=\frac{15}{2} x+\frac{25}{2}=-\frac{15}{2}$$

Sottrai \frac{25}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-5 x=-20$$